Số nguyên và số chẵn có nhiều như nhau không?

Số chẵn và số nguyên có nhiều như nhau không? Nhiều bạn chưa kịp suy nghĩ đã trả lời: “Không, không như nhau, vì số chẵn là một bộ phận của số nguyên”. Cũng không ít người tỏ ra hoài nghi, không nắm chắc nên trả lời: “Có thể nhiều như nhau, vì số nguyên và số chẵn có đối ứng 1 - 1”. Trong số đó, có bạn còn viết lên bảng một đối ứng 1 - 1 giữa số nguyên và số chẵn:

Trong hai loại ý kiến ấy, ai đúng, ai sai?

Bản chất của vấn đề trên chính là so sánh độ lớn của hai tập hợp: tập hợp số nguyên và tập hợp số chẵn. Việc so sánh độ lớn nhỏ của hai tập hợp hữu hạn khá đơn giản, nhưng với các tập hợp vô hạn thì thế nào là “to nhỏ” so với nhau, và phải so sánh như thế nào?

Đối với một tập hợp hữu hạn, ta dựa vào số phần tử trong mỗi tập hợp để so sánh và làm thước đo độ lớn nhỏ. Ví dụ:

1. Một bộ phận so với toàn thể, theo lập luận của lý thuyết tập hợp, thì bộ phận nhỏ hơn toàn thể.

2. Nếu giữa hai tập hợp có thể thiết lập đối ứng 1 - 1 giữa các phần tử, thì chúng có độ lớn như nhau.

Hai cách trả lời nêu trên chính là hai kết quả dựa vào hai tiêu chuẩn khác nhau của tập hợp hữu hạn rồi suy rộng sang tập hợp vô hạn.

Thực ra, trong hai tiêu chuẩn ấy, tiêu chuẩn thứ hai mới là bản chất. Ta hãy suy nghĩ một chút: từ “ba” có thể được trừu tượng hóa từ những sự vật gì? Mọi người đều biết có thể có “tập hợp ba con chó”, “tập hợp ba người”, “tập hợp ba quyển sách” v.v... Như vậy, thông qua quan sát những sự vật khác nhau trong thực tiễn, ta có thể rút ra khái niệm trừu tượng “ba” có cùng đặc tính.

Tại sao “tập hợp ba” lại có cùng tính chất, còn “tập hợp bốn người” lại không có cùng tính chất đó? Điểm chủ yếu của “ba” là có thể thiết lập đối ứng 1 - 1 giữa chúng: ba người chăn dắt ba con chó tạo thành đối ứng giữa “tập hợp ba người” và “tập hợp ba con chó”. Ba người đọc ba quyển sách cũng thiết lập đối ứng 1 - 1 giữa “tập hợp ba người” và “tập hợp ba quyển sách”.

Theo phương thức tư duy này, ta có thể mở rộng cho tập hợp vô hạn và xây dựng lý luận về “độ lớn nhỏ” của tập hợp vô hạn. Với hai tập hợp, hữu hạn hay vô hạn, nếu có thể thiết lập sự đối ứng 1 - 1 giữa chúng, ta nói hai tập hợp có cơ số như nhau. Nếu một tập hợp có thể thiết lập quan hệ đối ứng 1 - 1 với một tập hợp khác, thì người ta nói tập hợp thứ nhất có cơ số không lớn hơn tập hợp thứ hai. Từ khái niệm khá trừu tượng là “cơ số”, ta có thể so sánh độ lớn nhỏ của các tập hợp. Cơ số chính là sự mở rộng khái niệm số phần tử của tập hợp hữu hạn sang tập hợp vô hạn.

Theo định nghĩa đó, tập hợp có cơ số nhỏ nhất trong các tập hợp vô hạn chính là tập hợp các số tự nhiên. Bởi vì nếu có một tập hợp vô hạn, cứ mỗi lần ta rút ra một phần tử từ tập hợp đó thì trong tập hợp vẫn còn phần tử khác; quá trình rút ra các phần tử có thể tiếp tục mãi. Như vậy, có thể thiết lập quan hệ 1 - 1 giữa các phần tử của tập hợp vô hạn đang xét với tập hợp các số tự nhiên. Trong toán học, người ta dùng chữ Hy Lạp X để ký hiệu tập hợp vô hạn, đọc là Khi, và dùng ký hiệu X0 để ký hiệu tập hợp các số tự nhiên.

Quay lại vấn đề ban đầu, ta có thể suy ra tập hợp các số nguyên và tập hợp các số chẵn có cùng cơ số, tức số nguyên và số chẵn có độ lớn như nhau, hay nói cách khác là nhiều như nhau. Thực ra, cả hai tập hợp đều có cơ số là X0. Ta chỉ cần sắp xếp các số nguyên thành dãy 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3... thì không một số nguyên nào lọt ra ngoài bảng sắp xếp. Do đó, ta đã thiết lập được một đối ứng 1 - 1 giữa tập hợp số nguyên và tập hợp số tự nhiên. Từ đó cũng có thể chứng minh các số hữu tỉ có cơ số là X0. Các bạn có thể tự sắp xếp để thấy cơ số của tập hợp các số hữu tỉ là X0.

Đương nhiên, cũng có những tập hợp có cơ số khác X0. Dưới đây, ta sẽ chứng minh tập hợp các số thực là loại tập hợp như vậy.

Chúng ta đã thấy tập hợp vô hạn được mở rộng từ cơ số của tập hợp hữu hạn, nhưng giữa cơ số của tập hợp vô hạn và tập hợp hữu hạn có sự khác biệt rất lớn.