Thế nào là “dự đoán”?

Nói đến toán học là nói đến sự thận trọng và chính xác. Các kiến thức được đưa vào sách toán đều phải trải qua chứng minh chặt chẽ, chính xác 100%. Vậy tại sao trong toán học lại có vấn đề “dự đoán”? Đó là vì “trong sáng tạo toán học cũng giống như bất kỳ loại sáng tạo khoa học nào. Trước khi chứng minh một định lý toán học, trước hết bạn phải dự đoán nội dung của định lý đó. Trước khi đưa ra chứng minh rõ ràng cho định lý, bạn phải nghĩ đến con đường chứng minh. Bạn phải quan sát, suy luận, tổng hợp, so sánh. Bạn phải lặp đi lặp lại nhiều lần”.

Đoạn văn trên là của nhà toán học Mỹ G. Pólya. Từ đó có thể thấy, bất kỳ kết luận nào trong toán học cũng đều do các nhà toán học vận dụng nhiều loại dự đoán khác nhau mà hình thành. Trong toán học, dự đoán chính là một phương pháp phát hiện, một phương thức tư duy sáng tạo.

Đương nhiên, các dự đoán có thể có hai khả năng:

Một là dự đoán được chứng minh là chính xác, và như vậy từ dự đoán ta thu được một định lý.

Hai là dự đoán bị chứng minh là sai. Ví dụ, định lý Fermat (1601-1665). Dựa vào việc với n = 0, 1, 2, 3, 4 thì 22n + 1 là số nguyên tố, người ta từng đưa ra dự đoán rằng các số tính theo công thức 22n + 1 đều là số nguyên tố. Kết quả là dự đoán này bị Euler bác bỏ, vì khi n = 5 thì số 232 + 1 = 641 x 6700414 là một hợp số. Vậy một dự đoán bị chứng minh là sai có hoàn toàn vô ích không? Đương nhiên là không. Bởi trong lúc dự đoán còn có giá trị, nó thường hàm chứa một quy luật nào đó; nhờ vậy, trong các tình huống thích hợp, người ta có thể cải tiến hoặc ứng dụng nó vào những mục đích nghiên cứu khác.

Cũng có những dự đoán chưa được chứng minh trọn vẹn nhưng vẫn liên tục hấp dẫn sự chú ý của nhiều học giả. Trong quá trình tìm cách chứng minh, nhiều phương pháp lý luận mới được sinh ra, thúc đẩy toán học phát triển. “Dự đoán Goldbach” nổi tiếng là một ví dụ. Dù được nhận định là chính xác, nó vẫn chưa được chứng minh hoàn toàn.

Vì vậy, dự đoán là một vấn đề khó. Cũng có những vấn đề khó mà tạm thời con người còn chưa đưa ra được dự đoán. Ví dụ, việc đưa ra một số nguyên tố rất lớn cho đến nay vẫn chưa có dự đoán, ngay cả liên tưởng đến số nguyên tố lớn này cũng chưa có, nên còn chưa có cách bắt tay vào giải quyết.

Chúng ta học toán không chỉ để học các kết quả của người đi trước, mà quan trọng hơn là học phương pháp tư duy.