Bài toán “một trăm con gà” thế nào?

Vào thế kỷ V ở Trung Quốc có bộ sách toán nổi tiếng là “Sách toán Trương Khâu Kiện”, trong đó có bài toán “trăm con gà”. Nội dung như sau: dùng 100 đồng mua 100 con gà; gà trống giá 5 đồng một con, gà mái giá 3 đồng một con, còn 3 gà con giá 1 đồng. Hỏi mua được bao nhiêu gà trống, bao nhiêu gà mái và bao nhiêu gà con? Đây là một bài toán cổ rất nổi tiếng.

Ngày nay, người ta thường dùng phương pháp đại số để giải bài toán này. Giả sử x là số gà trống, y là số gà mái, z là số gà con. Theo điều kiện đề bài, ta có tổng số gà là 100 và tổng số tiền mua gà cũng là 100 đồng.

Điểm đặc biệt là số phương trình ít hơn số ẩn. Với hệ phương trình bậc nhất thông thường, nếu số phương trình bằng số ẩn thì có thể có nghiệm duy nhất; còn ở đây số phương trình ít hơn số ẩn nên thuộc loại phương trình vô định. Vì vậy, bài toán “100 con gà” là một bài toán phương trình vô định. Nói chung, phương trình vô định có thể cho nhiều hệ nghiệm.

Trong “Sách toán Trương Khâu Kiện”, tác giả không trình bày cách giải cụ thể mà đưa ra ba hệ đáp án. Từ các nghiệm đó có thể thấy: nếu tăng số gà trống thêm 4 con, đồng thời giảm số gà mái 7 con và tăng số gà con 3 con thì lại thu được một nghiệm mới.

Ta có thể kiểm tra điều này bằng cách biến đổi các phương trình. Lấy phương trình về số tiền nhân với 3 rồi trừ phương trình về số lượng gà, ta thu được 14x + 8y = 200, hay 7x + 4y = 100. Vì 4y và 100 đều chia hết cho 4 nên 7x cũng phải chia hết cho 4. Do đó x phải là bội số của 4, và trong điều kiện bài toán, x chỉ có thể là 4, 8 hoặc 12.

Tương ứng với ba giá trị đó, ta tính được các nghiệm: y = 18, 11, 4 và z = 78, 81, 84. Vì x, y, z đều phải là số nguyên dương và nhỏ hơn 100, nên tuy phương trình vô định có thể có nhiều nghiệm, bài toán “100 con gà” chỉ có ba hệ nghiệm phù hợp với điều kiện đề bài.