Vì sao chỉ có năm loại khối đa diện đều?

Trong các tinh thể, người ta thường gặp những khối đa diện đặc biệt: các mặt là những đa giác đều và các góc của khối đa diện cũng hoàn toàn như nhau. Đó là các khối đa diện đều. Nhìn qua tưởng có rất nhiều loại, nhưng thực ra khối đa diện đều chỉ có năm loại. Vì sao lại như vậy?

Trước hết cần nhắc đến công thức Euler. Vào thế kỷ XVIII, nhà toán học Thụy Sĩ Euler đã chỉ ra mối quan hệ giữa số mặt, số cạnh và số đỉnh của một khối đa diện. Công thức đó là V - E + F = 2, trong đó V là số đỉnh, E là số cạnh và F là số mặt của khối đa diện.

Giả sử một khối đa diện đều được tạo bởi các mặt, mỗi mặt có m cạnh, và số mặt là F. Khi đó tổng số cạnh đếm theo từng mặt là mF, nhưng mỗi cạnh thuộc về hai mặt kề nhau nên mF = 2E. Nếu tại mỗi đỉnh có n cạnh gặp nhau, và khối đa diện có V đỉnh, ta cũng có nV = 2E.

Kết hợp các hệ thức này với công thức Euler, ta có thể giới hạn các khả năng tạo thành khối đa diện đều. Trước hết xét các khối tạo từ tam giác đều. Vì mỗi góc của tam giác đều là 60 độ, các góc gặp nhau tại một đỉnh không thể đạt hoặc vượt quá 360 độ, nên chỉ có ba khả năng: ba, bốn hoặc năm tam giác đều gặp nhau tại một đỉnh.

Tương ứng với ba trường hợp đó, ta thu được khối tứ diện đều, khối bát diện đều và khối hai mươi mặt đều. Nếu dùng hình vuông làm mặt, mỗi góc là 90 độ nên chỉ có thể có ba hình vuông gặp nhau tại một đỉnh, tạo thành khối lục diện đều, tức hình lập phương.

Với ngũ giác đều, mỗi góc trong là 108 độ, chỉ có thể có ba ngũ giác đều gặp nhau tại một đỉnh, tạo thành khối mười hai mặt đều. Còn lục giác đều có góc trong 120 độ; ba lục giác gặp nhau đã vừa đủ 360 độ nên chỉ trải phẳng thành mặt phẳng, không tạo được góc đa diện. Vì vậy, khối đa diện đều chỉ có năm loại: tứ diện đều, lục diện đều, bát diện đều, mười hai mặt đều và hai mươi mặt đều.