Làm thế nào để việc tu sửa đường sá ít tốn kém nhất?
Ở một khu xây dựng mới có hai nhà máy lớn đặt tại hai điểm A và B. Sản phẩm của hai nhà máy phải được vận chuyển đến bờ sông, biểu diễn bằng đường thẳng XY, rồi đưa lên thuyền để chở đi nơi khác. Người ta dự định xây một bến phà trên bờ sông, sau đó làm hai con đường từ hai nhà máy đến bến phà. Vậy nên chọn vị trí bến phà ở đâu để chi phí làm đường là thấp nhất?
Vì chi phí xây dựng đường liên quan trực tiếp đến độ dài con đường, nên muốn ít tốn kém nhất thì tổng chiều dài hai con đường phải ngắn nhất. Vấn đề toán học đặt ra là phải chọn điểm C trên đường thẳng XY sao cho AC + BC nhỏ nhất.
Ta có thể giải bằng kiến thức hình học. Từ điểm B vẽ đường vuông góc với XY, cắt XY tại E. Kéo dài BE qua E một đoạn ED bằng BE, khi đó D là điểm đối xứng của B qua đường thẳng XY. Nối A với D, đường AD cắt XY tại C. Điểm C chính là vị trí cần chọn.
Vì B và D đối xứng qua XY nên với bất kỳ điểm nào trên XY, khoảng cách từ điểm đó đến B bằng khoảng cách từ điểm đó đến D. Do đó, tổng khoảng cách từ A đến một điểm trên XY rồi đến B bằng tổng khoảng cách từ A đến điểm đó rồi đến D. Trong tất cả các đường nối từ A đến D qua một điểm trên XY, đường thẳng AD là ngắn nhất, nên điểm C nơi AD cắt XY cho tổng AC + BC nhỏ nhất.
Vì vậy, nhiều vấn đề thực tế nếu chịu khó suy nghĩ đều có thể được giải quyết gọn gàng bằng toán học.
