Làm thế nào để sắp xếp khéo léo 250 quả táo vào tám chiếc giỏ?

Vấn đề đặt ra như sau: giả sử dung tích của các giỏ đủ lớn để chứa số lượng táo bất kỳ. Làm thế nào xếp 250 quả táo vào 8 chiếc giỏ sao cho khi cần lấy bất kỳ số táo nào, ta không phải đếm từng quả mà chỉ cần chọn đúng các giỏ là được?

Suy nghĩ kỹ, thực chất của vấn đề là chia 250 thành 8 số tự nhiên sao cho mọi số từ 1 đến 250 đều có thể biểu diễn thành tổng của một số trong 8 số đó.

Ta có thể cho vào 8 giỏ lần lượt các số táo: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 và 123. Tổng của chúng đúng bằng 250. Khi đó, bất kể cần lấy bao nhiêu quả trong phạm vi từ 1 đến 250, chỉ cần chọn các giỏ thích hợp. Ví dụ, cần lấy 55 quả thì vì 55 = 32 + 16 + 4 + 2 + 1, ta chỉ cần lấy các giỏ chứa 32, 16, 4, 2 và 1 quả.

Dãy số này xuất phát từ cách ghi số theo hệ nhị phân. Trong hệ thập phân, ta dùng 10 chữ số từ 0 đến 9 để ghi mọi số tự nhiên. Còn trong hệ nhị phân, chỉ dùng hai chữ số 0 và 1, nhưng vẫn có thể biểu diễn mọi số tự nhiên.

Ví dụ, số 55 có thể viết thành tổng 32 + 16 + 4 + 2 + 1, tương ứng với cách ghi nhị phân 110111. Mỗi vị trí trong hệ nhị phân ứng với một giỏ táo. Chữ số 1 nghĩa là chọn giỏ đó, chữ số 0 nghĩa là không chọn. Vì vậy, chỉ cần nhìn cách biểu diễn nhị phân của số cần lấy, ta biết ngay phải chọn những giỏ nào.

Bài toán “số 7 cô lập” cũng là một dạng bài suy luận thú vị. Trong một phép chia, hầu hết các chữ số bị bỏ trống, chỉ còn lại một chữ số 7. Nhiệm vụ là dựa vào đầu mối duy nhất này để khôi phục toàn bộ phép tính. Số bị chia có 8 chữ số, thương có 5 chữ số, số chia có 3 chữ số, và phép chia là phép chia hết.

Muốn giải, ta dùng suy luận logic, lấy chữ số 7 làm điểm đột phá. Bằng cách so sánh các hàng trong phép chia, có thể suy ra chữ số thứ tư của thương là 0. Tiếp đó, dựa vào độ lớn của các tích riêng, suy ra chữ số bên phải số 7 trong thương phải là 8 hoặc 9, rồi tiếp tục loại trừ để xác định toàn bộ thương là 97809.

Sau đó xét số chia. Vì tích của số chia với 8 chỉ có ba chữ số, số chia phải nhỏ hơn 125. Thử số 124, ta có thể khôi phục được phép chia phù hợp. Nếu thử số 123, một hàng trong phép chia chỉ có ba chữ số trong khi sơ đồ yêu cầu bốn chữ số, nên bị loại. Các số nhỏ hơn cũng không cần thử tiếp.

Từ một đầu mối rất nhỏ mà suy ra toàn bộ phép tính là một phương pháp tư duy hữu ích. Loại bài này còn được gọi là “bài toán sâu gặm”, ban đầu dùng để khôi phục các chữ số trong tài liệu hoặc sách vở bị mối mọt làm mất. Về sau, phương pháp ấy được ứng dụng rộng hơn trong khoa học kỹ thuật.