Có bao nhiêu cách sắp xếp các đồng tiền xu thành 1 hào?
Bài toán này nhìn qua khá đơn giản, có thể dùng phương pháp tính trực tiếp để tìm ra đáp án. Các cách tính được là:
1. Nếu chỉ dùng đồng 1 xu thì chỉ có một cách.
2. Dùng đồng 2 xu kết hợp với đồng 1 xu. Có thể dùng một đồng 2 xu kết hợp với các đồng 1 xu, dùng hai đồng 2 xu, dùng ba đồng 2 xu kết hợp, dùng bốn đồng 2 xu kết hợp với đồng 1 xu, hoặc dùng năm đồng 2 xu. Như vậy tất cả có năm cách.
3. Dùng một đồng 5 xu kết hợp với năm đồng 1 xu; dùng một đồng 5 xu với một đồng 2 xu và ba đồng 1 xu; hoặc dùng một đồng 5 xu với hai đồng 2 xu và một đồng 1 xu. Như vậy có tất cả ba cách.
4. Dùng hai đồng 5 xu, chỉ có một cách.
Theo mô tả trên, tổng số cách sắp xếp là 1 + 5 + 3 + 1 = 10 cách.
Vậy ngoài cách phân tích trực tiếp như trên, còn có phương pháp tổng quát hơn không? Có. Bạn chỉ cần tính hệ số A10 của số hạng x10 trong công thức dưới đây:
(1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10).
(1 + x + x2 + x4 + x6 + x8 + x10).
1 + x5 + x10 = 1 + A1x + A2x +... A10x10 +...+ x30
Vậy A10 bằng bao nhiêu?
1. Hai số hạng x10 ở hai nhân tử trước nhân với số 1 ở nhân tử thứ ba sẽ tạo thành số hạng chứa x10. Các lũy thừa x2 nhân với x8, x4 nhân với x6 cũng đều được x10; tất cả có sáu số hạng chứa x10.
2. Hai số hạng chứa x5 ở nhân tử đầu kết hợp với nhân tử thứ ba cũng thu được x10. Vì ở nhân tử thứ hai, tất cả các lũy thừa của x đều là số chẵn, nên chỉ có các cặp x5 và x3, x2 và x1, x1 và x4 tạo được x5; do đó ta có 3x10.
3. Cuối cùng, số 1 ở hai nhân tử còn lại nhân với x10 sẽ được một số hạng chứa x10. Cộng các số hạng có chứa x10 như vừa mô tả, ta có
Như vậy, ta lặp lại đúng kết quả đã nhận được bằng phương pháp phân tích trực tiếp ở trên.
Phương pháp vừa trình bày được gọi là “phép toán hàm số gốc”. Đây là một phương pháp quan trọng do nhà toán học Thụy Sĩ Euler đưa ra.
Nếu cần tìm số cách sắp xếp các đồng 1 xu, 2 xu, 5 xu, 1 hào, 2 hào, 5 hào để được đủ 1 đồng, tức 100 xu, thì việc tính bằng phân tích trực tiếp trở nên rất khó. Nhưng nếu dùng “phương pháp hàm số gốc”, ta có công thức:
(1 + x + x2 + x3 +...+ x100). (1 + x2 + x4 +...+ x100)
(1 + x5 + x10 +... + x100). (1 + x10 + x20 +... + x100)
(1 + x20 + x40 +... + x100).(1 + x50 + x100)
Ta chỉ cần khai triển chúng và tìm hệ số A100 của số hạng chứa x100. Nhờ thao tác mang tính máy móc này, với sự trợ giúp của máy tính điện tử, ta có thể dễ dàng thực hiện và tìm được lời giải.
