Có phải tổng các góc trong của tam giác bằng 180 độ

Khi đọc đề mục này, chắc bạn sẽ tự hỏi: tại sao lại đặt ra câu hỏi như vậy? Tổng các góc trong của một tam giác bằng 180o chẳng phải là một định lý đã được chứng minh rồi sao? Liệu có thể có kết luận khác không?

Trên thực tế, hơn 100 năm trước đã có người nghiên cứu vấn đề này và đưa ra hai kết luận khác hẳn nhau: “Tổng các góc trong của một tam giác lớn hơn 180o” và “Tổng các góc trong của một tam giác nhỏ hơn 180o”.

Vậy ba kết luận hoàn toàn mâu thuẫn nhau này có thể đồng thời đúng cả không? Sự thật cuối cùng là thế nào?

Chúng ta đều biết các chứng minh trong toán học được xây dựng từ những tiên đề và định đề, tức các mệnh đề không yêu cầu phải chứng minh. Chính từ các tiên đề, định đề ấy, người ta suy diễn và suy luận để thiết lập, chứng minh các định lý. Ví dụ, trong chương trình hình học phẳng bậc trung học, người ta đưa ra năm tiên đề và năm định đề làm cơ sở cho việc chứng minh định lý:

Tiên đề 1: Hai đại lượng bằng nhau với đại lượng thứ ba thì hai đại lượng đó bằng nhau.

Tiên đề 2: Thêm cùng một đại lượng vào hai đại lượng bằng nhau thì các tổng thu được bằng nhau.

Tiên đề 3: Trừ cùng một đại lượng khỏi hai đại lượng bằng nhau thì hiệu của chúng bằng nhau.

Tiên đề 4: Hai hình trùng nhau thì bằng nhau.

Tiên đề 5: Cái toàn thể lớn hơn cái bộ phận.

Định đề 1: Từ hai điểm bất kỳ có thể nối nhau bằng một đường thẳng.

Định đề 2: Đường thẳng có độ dài vô hạn.

Định đề 3: Từ một điểm bất kỳ chọn làm tâm, có thể vẽ vòng tròn có bán kính lớn tùy ý.

Định đề 4: Các góc vuông đều bằng nhau.

Định đề 5: Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng khác và tổng các góc trong cùng phía nhỏ hơn hai góc vuông, thì hai đường thẳng ấy ở cùng phía so với đường thẳng kia nhất định phải cắt nhau.

Trong năm tiên đề và định đề nêu trên, trừ định đề số 5, các mệnh đề còn lại đều được thể hiện trong phạm vi hữu hạn và có thể dùng thực nghiệm để kiểm chứng. Riêng định đề thứ 5 có phạm vi mở rộng đến vô hạn, nên từ rất sớm đã nhiều lần bị hoài nghi. Nhiều nhà toán học đã nỗ lực suốt hàng nghìn năm, định dùng các tiên đề và định đề khác để chứng minh định đề 5 nhưng chưa thành công. Tuy vậy, họ lại thu được nhiều kết quả thú vị. Một là định đề 5 và mệnh đề “tổng các góc trong của một tam giác bằng 180o” là tương đương nhau; từ mệnh đề này có thể suy ra mệnh đề kia. Hai là nếu bác bỏ định đề số 5 và dùng một mệnh đề đối lập khác thay thế, ví dụ “tổng các góc trong của một tam giác lớn hơn 180o” hoặc “tổng các góc trong của một tam giác nhỏ hơn 180o”, thì kết hợp định đề mới với các tiên đề và định đề khác, người ta vẫn có thể suy diễn và chứng minh chính xác các mệnh đề khác.

Nói cách khác, người ta có thể xây dựng một môn hình học khác. Dù môn hình học này không thể nhận biết đơn giản bằng kinh nghiệm thông thường, nhưng vẫn có thể chứng minh để chứng tỏ nó là một hệ thống chân lý trong phạm vi các tiên đề đã chọn.

Trong toán học, người ta gọi môn hình học chấp nhận mệnh đề “tổng các góc trong của một tam giác bằng 180o” là hình học Euclid. Còn hình học chấp nhận “tổng các góc trong của tam giác lớn hơn hoặc nhỏ hơn 180o” là “hình học phi Euclid”. “Hình học phi Euclid” được nhà toán học Nga Lobachevsky và nhà toán học Đức Riemann sáng lập vào thế kỷ XIX, lần lượt gọi là hình học Lobachevsky và hình học Riemann. Đến thế kỷ XX, hình học phi Euclid bắt đầu được ứng dụng trong nghiên cứu cơ học và vật lý học. Năm 1915, Einstein đã ứng dụng hình học phi Euclid vào thuyết tương đối rộng, điều này không chỉ giúp con người hiểu sâu hơn về hình học phi Euclid mà còn thúc đẩy sự phát triển của nó.