Vì sao qua cầu hay qua hầm chỉ cần đặt trạm thu phí một chiều?

Sông Hoàng Phố chảy qua thành phố Thượng Hải, chia Thượng Hải thành hai phần là Phố Đông và Phố Tây. Vào đầu những năm 90, Trung ương quyết định phát triển Phố Đông, khiến Phố Đông mỗi ngày một đổi thay. Một khu phố mới hiện đại đã hiện lên uy nghi.

Để giải quyết nhu cầu giao thông ngày càng dày đặc giữa Phố Tây và Phố Đông, người ta lần lượt xây dựng các đường hầm qua sông như đường hầm Phố Lộ, Đông Lộ... cùng những cây cầu lớn bắc qua hai bờ như cầu Nam Phố, Dương Phố... trên sông Hoàng Phố. Trước ngày 1 tháng 5 năm 2000, ô tô qua cầu phải nộp phí. Những người dân sống ở Thượng Hải đều có kinh nghiệm: ô tô đi từ Phố Tây sang Phố Đông, bất kể đi trên cầu hay dưới đường hầm, đều được thông một mạch; nhưng nếu đi từ Phố Đông sang Phố Tây thì nhất định phải qua trạm thu phí, nộp phí xong mới được đi.

Xây cầu và đường hầm tốn một khoản tiền rất lớn, thu phí là để bù đắp, điều đó ai cũng thấy hợp lý. Nhưng vì sao chỉ đặt cửa thu phí ở Phố Đông mà không đặt ở Phố Tây, trong khi cả đi lẫn về đều cần thu phí? Lập luận thực ra rất đơn giản: đối với xe cộ, trừ một số rất ít xe quá cảnh rồi không quay trở lại, đã lái qua cầu thì bao giờ cũng quay về. Đương nhiên, xe có thể đi qua theo đường này, quay về theo đường khác, hoặc hôm nay qua sông rồi vài ngày sau mới quay lại. Bất kể chỉ đặt cửa thu phí một chiều trên sông rồi thu phí qua sông khứ hồi, hay đặt cửa thu phí cả hai chiều rồi thu phí riêng từng chiều, thì với xe cộ, số phí cần nộp là như nhau; với cơ quan thu phí, tổng lượng thu phí cũng như nhau. Nghĩa là chỉ cần đặt cửa thu phí một chiều trên sông cũng có thể đạt hiệu quả thu phí tương tự như đặt cửa hai chiều. Nhưng nếu chỉ đặt cửa thu phí một chiều, sẽ tiết kiệm được một nửa chi phí xây dựng cửa thu phí và vận hành hằng ngày.

Lập luận mà mọi người đều có thể hiểu được này thực ra là một ví dụ của nguyên tắc đối ngẫu trong toán học. Nguyên tắc đối ngẫu là một quan hệ đối ứng 1-1 nào đó được thiết lập giữa hai phần tử, chẳng hạn tập hợp xe cộ từ Phố Tây sang Phố Đông và tập hợp xe cộ từ Phố Đông sang Phố Tây, từ đó chứng tỏ số phần tử trong hai tập hợp là như nhau.

Nguyên tắc đối ngẫu tuy đơn giản nhưng là một căn cứ suy luận rất quan trọng. Nếu suy rộng ra cho các tập hợp vô hạn, người ta có thể xây dựng lý thuyết cơ số của tập hợp.

Dùng nguyên tắc đối ngẫu còn có thể giải quyết các bài toán nổi tiếng trong lịch sử, ví dụ bài toán đi vòng quanh đường vành đai.

Bài toán như sau: Trên một đường vành đai có n bến xe, với độ cao so với mực nước biển lần lượt là 100 m và 200 m. Cho biết nếu độ cao của hai bến xe cạnh nhau như nhau thì đoạn quốc lộ nối giữa chúng hoàn toàn bằng phẳng. Có một hành khách xuất phát từ một bến xe nào đó, thử đi một vòng quanh đường vành đai và phát hiện số đoạn đường dốc bằng số đoạn đường hoàn toàn bằng phẳng. Từ đó, anh ta kết luận: số bến xe n là bội số của 4.

Lý do rất đơn giản: theo điều kiện giả thiết, mỗi đoạn đường dốc hoặc là từ độ cao 100 m lên 200 m, hoặc là từ 200 m xuống 100 m. Khi đi một vòng quanh đường vành đai, có thể thiết lập sự đối ứng 1-1 giữa các đoạn lên dốc và các đoạn xuống dốc đã đi; nếu không, sẽ không thể quay về độ cao ban đầu. Vì thế, nếu đoạn lên dốc có m đoạn thì đoạn xuống dốc cũng có m đoạn, nên số đoạn đường dốc k = 2m là số chẵn. Bây giờ lại cho biết số đoạn đường hoàn toàn bằng phẳng cũng là k, cho nên tổng số đoạn đường là 2k = 4m. Hiển nhiên, tổng số đoạn đường chính là số bến xe, nên số bến xe n = 4m là bội số của 4.