Vì sao dùng giấy ráp cát thô lại đánh bóng được đồ vật?

Chắc nhiều người đã quen dùng giấy ráp để đánh bóng đồ vật. Giấy ráp là loại giấy có phủ một lớp cát trên bề mặt, sờ vào rất thô ráp. Nhưng khi dùng giấy ráp chà lên những vật có bề mặt phẳng, bề mặt đồ vật lại trở nên sáng bóng. Vì sao giấy ráp có thể mài bóng bề mặt?

Điều này liên quan đến một bài toán thống kê.

Ta chia bề mặt vật thể cần mài bóng thành những khối lồi lõm rất nhỏ. Khi cho giấy ráp chà xát lên vật thể một lần, mỗi khối nhỏ trên bề mặt có thể bị hạt cát mài mòn bớt một chút, ta ký hiệu phần bị mài là 1; cũng có thể không bị mài mòn, ký hiệu là 0. Khả năng một chỗ lồi nhỏ bị mài mòn hay không bị mài mòn là như nhau. Mỗi chỗ lồi trên bề mặt vật thể có thể bị mài mòn theo bốn khả năng khi bị mài một lần

tức là mài đi một phần bằng 0, hoặc mài một phần nhỏ bằng 1 hoặc 2. Khả năng của các trường hợp tương ứng là. Qua ba lần mài, có thể có các khả năng

Như vậy, qua ba lần chà xát, các khả năng là không bị mài mòn, bị mài mòn một chỗ, bị mài mòn hai chỗ hoặc bị mài mòn ba chỗ; xác suất tương ứng là 1/8, 3/8, 3/8 và 1/8. Qua sự ma sát của n hạt cát, mỗi chỗ lồi trên bề mặt vật thể cũng có 2n loại trường hợp, và mỗi loại trường hợp có khả năng như nhau. Như vậy, số chỗ lồi bị mài mòn có thể là 0, 1,... n - 1, hoặc n chỗ. Khả năng tương ứng cho n + 1 trường hợp là 1/2n, n/2n. Vì trung bình mỗi hạt cát chà xát sẽ làm mài mòn 1/2 chỗ lồi, nên khi ma sát với n hạt cát thì trung bình có n/2 chỗ lồi bị mài. Xét theo khả năng bị mài mòn, khả năng n/2 chỗ lồi bị mài mòn là khá lớn. Ví dụ, khi n = 10 thì khả năng có 4 đến 6 chỗ lồi bị mài mòn là 672/1024. Khi n = 10.000, khả năng có 4900 - 5100 chỗ lồi bị mài mòn lên đến 84%, còn khả năng có 4800 đến 5200 chỗ lồi bị mài mòn lên đến 99,54%.

Do trên một tờ giấy ráp có vô số hạt cát, nên chỉ sau một lần chà xát, các chỗ lồi trên bề mặt đã bị rất nhiều hạt cát mài mòn. Sau nhiều lần chà xát, n trở nên rất lớn. Mà mỗi chỗ lồi lại vô cùng nhỏ, nên số lần ma sát của các hạt cát gần như không thể đếm được. Vì vậy, giấy ráp có thể đánh bóng bề mặt vật thể.