Thế nào là hình vuông bí ẩn?

Theo truyền thuyết, vào thời vua Đại Vũ trị thủy, khoảng thế kỷ XXIII trước Công nguyên, có một con rùa lớn nổi lên trên sông Lạc. Trên lưng con rùa có chín loại hoa văn, người đời sau gọi đó là “Lạc thư”. Trên thực tế, đó là chín số tự nhiên liên tiếp được xếp trong ba hàng với chín ô. Điều kỳ diệu là tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng 15; hơn nữa chín số tự nhiên này không lặp lại trong các ô và cũng không bỏ sót số nào.

Các nhà nghiên cứu còn phát hiện rằng không chỉ “Lạc thư” mới có những ô vuông bí ẩn như vậy. Nếu xếp các số tự nhiên từ 1 đến n2 vào các ô vuông, người ta cũng thu được các hình vuông có tính chất tương tự, gọi là “biểu đồ ngang dọc” hay đồ thị hai chiều; ở phương Tây gọi là “ma trận vuông ảo”. Hình vuông có n hàng và n cột thì n được gọi là bậc của hình vuông ảo, hay “ma trận1 bậc n”. Bậc của hình vuông trong “Lạc thư” là bậc ba, đây chính là loại ma trận đơn giản nhất.

Người ta còn nhận thấy các số trong ma trận chỉ cần là n2 số bất kỳ, không nhất thiết phải là các số tự nhiên từ 1 đến n2. Các số tự nhiên được xếp vào các ô vuông gọi là các ma trận có n cột, n hàng. Ngày nay, các ma trận có bậc n ngày càng lớn. Ma trận bậc ba hiện không chỉ có một ma trận trong Lạc thư. Xuất phát từ ma trận Lạc thư, nếu cộng thêm vào mỗi số một số nào đó, ta sẽ được một ma trận mới. Với một ma trận cấp ba và một số k cho trước, nếu thêm vào số (k - 1)d, trong đó d là số bất kỳ, ta cũng nhận được một ma trận bậc ba mới:

Các bạn có thể tìm xem những ma trận này được cấu tạo như thế nào không?

Gần đây, người ta đã mở rộng ý nghĩa của ma trận. Những ma trận này không chỉ có tổng các số theo hàng ngang, hàng dọc và đường chéo bằng nhau, mà tích các số cũng bằng nhau; người ta gọi đó là các “ma trận kép mở rộng”. Có hai ma trận kép, một ma trận có tám hàng, tám cột, còn ma trận kia có số hàng và số cột gấp đôi.

Vậy các ma trận có ứng dụng gì trong thực tiễn? Trước hết, ta thử xem lý thuyết “thi đấu cờ đồng đội”. Mọi người đều biết, trong thi đấu cờ vây, đấu thủ ở đẳng cấp thấp khó thắng được đấu thủ đẳng cấp cao hơn. Giả sử có ba đội A, B, C tham gia thi đấu cờ vây, mỗi đội có ba kỳ thủ. Thực lực của mỗi đội có thể được sắp xếp như Lạc thư. Đội A có các kỳ thủ cấp bốn, cấp chín và cấp hai; đội B có các kỳ thủ cấp ba, cấp năm và cấp bảy; đội C có các kỳ thủ cấp sáu, cấp một và cấp sáu. Nếu các cuộc thi đấu theo thể thức vòng tròn thì cần tiến hành chín trận mới phân thắng bại. Ta xét tình hình thi đấu của hai đội A và B. Theo cách sắp xếp lực lượng như hình vẽ, A có thể thắng bốn trận, còn B thắng năm trận, do đó B > A. Căn cứ lý luận tương tự, ta thấy C > B. Theo tiên đề về đại lượng không bằng nhau trong toán học, đáng lẽ phải có C > A. Thế nhưng phân tích theo Lạc thư lại dễ thấy C thắng bốn trận còn đội A thắng năm trận, tức A > C. Vì vậy, ở đây không thể áp dụng tiên đề về đại lượng không bằng nhau theo cách thông thường.

Với sự phát triển của máy tính điện tử, ma trận lại có thêm ý nghĩa mới. Hiện nay, trong các lĩnh vực như phân tích tổ hợp, lý thuyết đồ thị, trí tuệ nhân tạo, ma trận đều có tác dụng to lớn. Hiệp hội Máy tính Mỹ khi soạn thảo trợ giúp trật tự bộ nhớ, tức CACM, đã đưa ma trận vào việc tạo trình tự. Kiến trúc sư Bột La Đông đã phát hiện tính đối xứng rất phong phú của các ma trận; trong đó có nhiều đồ án rất đẹp, có thể dùng trong công nghiệp nhẹ và thiết kế bao bì.

Ma trận ngày càng được người ta coi trọng. Ở nước ngoài đã xuất bản một cuốn sách nổi tiếng là “Đại số học hiện đại và ứng dụng”, mở ra một lĩnh vực chuyên môn mà trước đây người ta từng cho là trò tỉa tót vô bổ.