Sắp xếp lịch thi đấu theo thể thức thi đấu vòng tròn như thế nào?

Chúng ta đã biết cách tính số trận đấu theo thể thức vòng tròn. Nhưng phải sắp xếp lịch thi đấu thế nào để các đội có thể lần lượt gặp những đối thủ khác nhau trong từng vòng? Hãy xem ví dụ về các đội nữ trong một cuộc thi đấu bóng bàn, trong đó có một bảng sáu đội và một bảng bảy đội. Ta thử sắp xếp lịch thi đấu cho bảng có sáu đội, thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt. Ký hiệu x là số phiên hiệu của đội, x ∈ {1, 2,...,6}; r ký hiệu vòng thi đấu, r ∈ {1, 2,...,5}. Như vậy, mỗi đội phải thi đấu năm vòng. Dưới đây là bảng sắp xếp lịch thi đấu cho sáu đội trong năm vòng. Trong bảng có r hàng, x cột, số phiên hiệu mỗi đội là y, số vòng đấu là r.

Bảng lịch thi đấu được sắp xếp như thế nào?

Trước hết, xin giới thiệu khái niệm “đồng dư”. Với hai số nguyên a, b, nếu chọn được một số m sao cho khi a và b chia cho m thì thương là số nguyên và số dư bằng nhau, ta nói a và b đồng dư theo môđun m. Ví dụ, với a = 34 và b = 12, nếu chọn m = 11 thì hai phép chia đều có số dư bằng 1. Người ta viết: a ≡ b (mod m), đọc là a và b đồng dư theo môđun m. Khái niệm đồng dư ra đời rất sớm, từ thế kỷ V. Ở Trung Quốc, khái niệm này xuất hiện đầu tiên trong bộ sách “Sách toán Tôn Tử”. Trong đời sống hằng ngày, chúng ta cũng thường gặp hiện tượng đồng dư. Ví dụ, trong một tháng nào đó, nếu ngày 2 là thứ tư thì các ngày 9, 16, 23 cũng là thứ tư. Vì thế, các số 9, 16, 23 có liên hệ đồng dư theo môđun 7.

Nói chung, để xếp lịch thi đấu theo thể thức vòng tròn có N đội tham gia, chỉ cần ở vòng đấu thứ r chọn giá trị y sao cho x + y = r (mod N - 1) là được.

Như trong ví dụ trên, ta phải chọn y sao cho x + y chia cho 5 có số dư bằng r.

Ví dụ ở vòng đấu thứ nhất, r = 1, x + y = 6, nên với x = 1, y = 5; x = 2, y = 4 đều đáp ứng yêu cầu. Nhưng x = 3, y = 3 thì đội thứ ba lại đấu với chính mình, nên không thể được. Vì vậy trong trường hợp này, ta quy ước chọn đội cuối cùng là đội số 6 thi đấu với đội 3. Như vậy, hàng thứ nhất được giải quyết xong.

Ở vòng thi đấu thứ hai, r = 2, x + y = 7, hàng thứ hai không gặp trở ngại gì.

Ở vòng đấu thứ ba, r = 3, x + y = 8. Khi x = 1, y = 7 thì không có đội bóng mang phiên hiệu này, nên trong trường hợp đó ta chọn x + y = r, tức x = 1, y = 2; x = 2, y = 1. Sau đó quay lại x + y = 8 thì x = 3, y = 5; khi x = 4 thì y = 4 nên không thể để y bằng 4, mà lấy y bằng 6.

Bằng cách tương tự, người ta có thể lập lịch thi đấu vòng tròn cho một bảng có 6 đội.

Như vậy, nếu số đội ghi tên thi đấu là số chẵn thì trong mỗi vòng, mỗi đội đều có một đối thủ khác nhau. Tuy nhiên, đây không phải là lịch đấu duy nhất. Nếu số đội tham gia là số lẻ thì cách xếp lịch thi đấu vừa trình bày sẽ không thích hợp.