Làm thế nào tháo được chuỗi chín vòng?

Chuỗi chín vòng là một trò chơi dân gian cổ của Trung Quốc, thịnh hành vào đời Minh và Thanh. Ở nước ngoài, người ta gọi nó là vòng Trung Quốc, tức “Chinese ring”. Không có tài liệu nào nói rõ xuất xứ hay thời điểm xuất hiện của chuỗi chín vòng. Nhà toán học nổi tiếng Cardan từng đề cập đến trò này, và nhà toán học Wallis cũng đã có những phân tích tinh tế về nó.

Chuỗi chín vòng có cấu tạo như sau: đó là một chuỗi gồm chín vòng tròn, mỗi vòng đều có một cán thẳng, thường bằng dây thép, xuyên qua vòng phía sau và xuyên qua một lỗ nhỏ trên tấm gỗ hoặc thép. Đầu dưới mỗi cán có một vòng nhỏ để khi cán chuyển động lên xuống không tuột ra khỏi tấm gỗ. Ngoài ra còn có một chạc bằng dây thép.

Mục đích của trò chơi là lần lượt xâu chín vòng vào chạc hoặc tháo chín vòng đã xâu ra. Việc xâu vào hay tháo ra đều không dễ, mà phải làm mấy trăm động tác theo một quy luật nhất định, tức phải có một thuật toán.

Trước hết, xin giới thiệu các động tác cơ bản.

Nếu muốn xâu một vòng vào kẹp, trước hết phải đưa vòng từ dưới lên trên qua tâm chạc, theo đường nét đứt trong hình A, rồi xâu vào đầu chạc như hình B. Động tác này, trừ vòng thứ nhất có thể thực hiện khá dễ, còn các vòng sau do bị vướng những vòng khác nên không thể làm trực tiếp. Nhưng cần chú ý: nếu chiếc vòng sát ngay phía trước đã được xâu vào chạc và không vướng vòng nào khác phía trước, thì chỉ cần nâng vòng đó lên tạm thời như hình C, vòng sau có thể xâu vào được, sau đó đưa vòng trước trở về vị trí cũ như hình D. Còn nếu muốn tháo các vòng, ta chỉ cần làm ngược lại các bước khi xâu vòng.

Sau khi nắm được hai động tác cơ bản, phải luyện tập nhiều lần mới có thể xâu vào, tháo ra tùy ý. Bây giờ ta thấy, nếu chỉ xâu vòng thứ nhất thì chỉ cần một bước. Muốn xâu hai vòng, tức vòng thứ nhất và vòng thứ hai, phải xâu vòng thứ nhất trước rồi mới xâu vòng thứ hai, vì vậy cần hai bước. Muốn xâu ba vòng thì phức tạp hơn.

Trước hết phải xâu được vòng thứ nhất và vòng thứ hai, rồi lại phải tháo vòng thứ nhất ra mới xâu được vòng thứ ba, sau cùng phải xâu lại vòng thứ nhất. Như vậy vẫn phải thực hiện năm bước.

Khi số vòng cần xâu càng nhiều, số bước phải thực hiện càng nhiều; nếu không chú ý thì rất dễ nhầm và làm rối toàn bộ. Từ thời xưa, người ta đã nghĩ đến điều đó và đặt ra một câu vè nêu các bước cần thiết khi tháo lắp vòng: cứ tám bước là một khâu, trong đó bảy bước đầu phải theo thứ tự “một hai một ba một hai một”. Còn “lên” hay “xuống” thì tùy tình hình: vòng chưa ở trên chạc thì “lên”, đã ở trên chạc thì “xuống”. Bước thứ tám tùy vào tình hình ở đầu chạc mà quyết định. Nếu đã có hai vòng liền nhau thì nhất định phải tháo vòng sau ra; nếu chỉ có một vòng thì nhất định phải xâu vòng sau lên. Toàn bộ sự khéo léo đều nằm trong câu vè ấy. Theo câu vè, để cởi hoặc lắp chín cái vòng cần đến 431 bước. Nhưng thực ra, nếu đã thuộc và quen thao tác thì cũng không quá tốn sức.

Năm 1975 xuất hiện một quyển sách chuyên môn, trong đó có một chuỗi số: 1, 2, 5, 10, 21, 42, 85, 170, 341.

Chuỗi số này không phải cấp số cộng, cũng không phải cấp số nhân. Vậy thực ra đó là chuỗi số gì? Đó chính là “chuỗi số chín vòng”, trong đó con số n chỉ số bước cần thực hiện khi số vòng cần tháo, gỡ tăng dần.

Các số này có theo quy luật không? Qua nghiên cứu, người ta tìm thấy quy luật lập dãy số. Nếu ký hiệu Un là số hạng thứ n trong dãy, ta có công thức:

Nếu n là số chẵn thì Un = 2Un-1

Nếu n là số lẻ thì Un = 2Un-1 + 1

Theo công thức trên, rõ ràng nếu có U1 thì nhất định sẽ tính được U2, U3... Người ta gọi cách suy luận này là phương pháp “đệ quy”. Ngoài ra còn có công thức tính trực tiếp Un như sau: