Có thể vẽ được mọi đường cong không?

Vào những đêm mùa hè, chúng ta thường thấy sao băng trên bầu trời. Các ngôi sao băng dịch chuyển trong không trung theo những đường cong. Nếu bạn đốt một nén hương trừ muỗi, tốt nhất là vào ban đêm, rồi di chuyển nó, đốm lửa ở đầu nén hương cũng sẽ vẽ nên một đường cong giống như sao băng. Chính từ gợi ý này mà các nhà toán học nghĩ ra phương pháp “vẽ bằng điểm” để vẽ các đường cong. Đường tròn, đường parabol, đường hypebol, đường hình sin v.v... đều có thể được vẽ theo phương pháp vẽ điểm.

Thế nhưng có phải mọi đường cong phẳng đều có thể vẽ bằng phương pháp vẽ điểm không? Tiến thêm một bước, ta có thể đặt câu hỏi: liệu có những đường cong phẳng nhất định không thể vẽ ra được hay không?

Đến đây, ta cần định nghĩa về đường cong phẳng. Thực ra, từ năm 1893, nhà toán học Pháp Jordan đã đưa ra một định nghĩa rõ ràng về đường cong, điều mà trước đó các nhà toán học chưa từng nêu chính thức. Đường cong vốn là một khái niệm mà hình học sử dụng như khái niệm ban đầu. Theo cách hiểu ban đầu này, đường cong là đường được vẽ ra chỉ có độ dài mà không có bề rộng; một đường được vẽ ra một cách tự nhiên cũng là một loại đường cong.

Từ sau khi có định nghĩa rõ ràng về đường cong, cùng với sự phát triển của toán học, đặc biệt là hình học vi phân và tôpô học, khái niệm đường cong ngày càng được mở rộng. Việc có vẽ được hay không không còn là tiêu chuẩn để phân biệt đường cong. Các nhà toán học thực sự đã nghĩ ra không ít loại đường cong không thể vẽ ra được. Ví dụ, nhà toán học Ba Lan Sierpinski đã định nghĩa “thảm Sierpinski” là một loại đường cong phẳng. Sierpinski làm như sau:

Chọn một hình vuông A, chia nó thành 9 hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó khoét bỏ hình vuông ở giữa như hình 1. Tiếp theo, lại chia 8 hình vuông ở ngoài biên này, gọi là các hình vuông cấp một, mỗi hình thành 9 hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó

lại khoét bỏ hình vuông nhỏ ở giữa như hình 2, và nhận được 82 = 64 hình vuông bao ngoài biên, gọi là các hình vuông cấp hai. Sau đó tiếp tục chia các hình vuông cấp hai theo phương pháp tương tự, ta được 83 = 512 hình vuông bao quanh khác, gọi là các hình vuông cấp ba như hình 3. Cứ tiếp tục quá trình này đến vô hạn lần, cuối cùng hình vuông chỉ còn lại một tập hợp điểm C, gọi là “thảm Sierpinski”. “Tấm thảm” này phù hợp với định nghĩa của một đường cong phẳng. Loại đường cong phẳng này rõ ràng khác với các đường cong thông thường, và không thể vẽ bằng phương pháp vẽ điểm. Nó có tác dụng quan trọng trong quá trình nghiên cứu khái niệm đường cong.