Bi thép lăn theo con đường nào thì nhanh nhất?

Giả sử có một viên bi kim loại lăn từ điểm A đến điểm B trên một đường máng kim loại được đánh bóng trơn. Câu hỏi đặt ra là: phải chế tạo đường máng theo hình dạng nào để thời gian viên bi lăn từ A đến B là ngắn nhất?

Mới nhìn, vấn đề có vẻ không khó. Có bạn sẽ cho rằng tốt nhất là cho viên bi lăn theo đường thẳng, vì đường thẳng là đường ngắn nhất nối hai điểm A và B. Nhưng ở đây điều cần xét không chỉ là quãng đường ngắn nhất, mà là thời gian lăn ngắn nhất. Thời gian ấy không chỉ phụ thuộc vào độ dài đường đi mà còn phụ thuộc vào tốc độ của viên bi.

Nếu chế tạo máng cong xuống ở phần giữa, khi viên bi lăn từ A xuống đoạn cong, nó sẽ đạt tốc độ nhanh hơn so với khi lăn trên máng thẳng cùng độ dài. Tuy nhiên, nếu phần đầu máng quá dốc thì phần sau của máng gần như nằm ngang, khiến viên bi lăn chậm lại ở đoạn cuối. Vì vậy, máng quá dốc ở đầu chưa chắc đã cho thời gian ngắn nhất.

Vậy phải chế tạo đường máng có dạng thế nào? Nhà vật lý kiêm thiên văn học người Italia Galileo từng nghiên cứu vấn đề này và cho rằng máng nên có dạng cung tròn. Nhưng khoảng 50 năm sau, vào khoảng năm 1700, nhà toán học Thụy Sĩ Bernoulli đã tính toán chính xác và kết luận rằng đường máng nhanh nhất không phải là hình tròn mà là một đường cycloid. Từ đó, cycloid được gọi là “đường lăn nhanh nhất”.

Cycloid là gì? Nếu một đường tròn lăn không trượt trên một đường thẳng, và ta đánh dấu một điểm cố định trên đường tròn, thì quỹ đạo do điểm đó vẽ ra chính là đường cycloid. Đây là lời giải cho bài toán đường lăn nhanh nhất.

Về sau, phương pháp giải dạng bài toán này phát triển thành phép tính biến phân, một ngành có vai trò quan trọng trong lịch sử toán học. Khi kỹ thuật hệ thống và vận trù học phát triển, phép tính biến phân lại tiếp tục phát huy sức sống mới.