Có thể chỉ dùng compa để xác định tâm vòng tròn được không?
Trước đây, chúng ta thường nói đến việc dùng thước và compa để vẽ hình. Nhưng trong một số trường hợp, chỉ dùng compa cũng có thể vẽ được những hình chính xác không kém. Việc chỉ sử dụng compa để dựng hình được gọi là bài toán dựng hình bằng compa. Trong đó, bài toán chỉ dùng compa để tìm tâm vòng tròn là một vấn đề khá nổi tiếng.
Cách vẽ có thể tiến hành như sau:
Trước hết, chọn trên vòng tròn một điểm A. Lấy A làm tâm, vẽ một vòng tròn cắt vòng tròn đã cho tại hai điểm B và C. Lấy B làm tâm, AB làm bán kính, vẽ vòng tròn thứ ba, cắt AB tại điểm D. Lấy A và D làm tâm, lấy CD làm bán kính, vẽ hai cung tròn; hai cung này cắt nhau tại E. Tiếp đó, lấy E làm tâm, EA làm bán kính, vẽ cung tròn cắt vòng tròn tâm A tại F. Cuối cùng, lấy A và B làm tâm, FB làm bán kính, vẽ hai cung tròn cắt nhau tại O. Điểm O chính là tâm của vòng tròn cần tìm.
Vì sao cách vẽ này lại tìm được tâm vòng tròn? Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng chỉ có một vòng tròn duy nhất. Để chứng minh O là tâm của vòng tròn ấy, ta cần chứng minh OA = OB = OC. Theo cách vẽ, ta đã có OB = OA, vì vậy chỉ cần chứng minh thêm OB = OC, hoặc OA = OC, là đủ.
Do AD = AF, AE = DE = EF nên hai tam giác AED và AEF bằng nhau. Vì ba điểm D, A, B cùng nằm trên một đường thẳng nên góc DAF = AFB + ABF, đồng thời EAD = AFB, EDA = ABF. Từ đó, tam giác EAD đồng dạng với tam giác AFB và AD : BF = EA : EF.
Mặt khác, BF = OB, EA = DC, AF = AB nên AD : OB = DC : AB. Khi đó, tam giác ABC và tam giác OAB là hai tam giác đồng dạng, vì vậy DC // AO.
Ta có OAC = ACD = ADC = OAB.
Mà OAB = OAC và AB = AC, nên ΔOAB = ΔOAC, từ đó suy ra OB = OC.
Đó là điều phải chứng minh.
Trong thực tế, người ta có thể dùng một phương pháp đơn giản gần giống cách trên. Trước hết, chọn bốn điểm cách đều nhau trên vòng tròn. Lấy các điểm đã chọn làm tâm, dùng một bán kính thích hợp để vẽ bốn cung tròn cắt nhau thành một tứ giác cong. Có thể điều chỉnh bán kính để tứ giác cong này nhỏ lại. Sau đó chọn một điểm O bên trong tứ giác cong, lấy O làm tâm vẽ vòng tròn bán kính OA, rồi xem vòng tròn ấy có trùng với vòng tròn đã cho hay không. Nếu chưa trùng thì tiếp tục điều chỉnh. Bằng cách đó, người ta có thể nhanh chóng xác định được tâm vòng tròn.
