Làm thế nào vẽ được ngôi sao năm cánh?
Ngôi sao năm cánh là hình vẽ rất quen thuộc. Nhưng bạn có biết cách vẽ chính xác một ngôi sao năm cánh không? Dưới đây là một phương pháp dựng hình chính xác.
1. Vẽ một vòng tròn tâm O.
2. Vẽ hai đường kính AZ và XY vuông góc với nhau.
3. Chọn M là trung điểm của OY.
4. Lấy M làm tâm, MA làm bán kính, vẽ cung tròn AN; cung này cắt OX tại điểm N.
5. Lấy A làm tâm, MA làm bán kính, trên vòng tròn lần lượt chia các cung bằng nhau sao cho AB = BC = CD = DE = EA.
6. Nối liên tiếp các đỉnh AD, AC, EB, EC, BD, ta sẽ vẽ được ngôi sao năm cánh.
Dưới đây là phần chứng minh tính chính xác của cách vẽ trên. Giả sử vòng tròn có bán kính R. Theo cách dựng, nếu ngôi sao vừa vẽ là chính xác thì năm đỉnh của nó phải nội tiếp trong vòng tròn bán kính R. Nói cách khác, ta cần chứng minh AN chính là độ dài cạnh của ngũ giác đều nội tiếp trong vòng tròn ngoại tiếp của ngôi sao năm cánh.
Theo kiến thức hình học trung học, cạnh của thập giác đều nội tiếp trong hình tròn bán kính R bằng:
a10 = 1/2(√5 - 1)R
Trong đó a10 là độ dài cạnh của thập giác đều nội tiếp trong vòng tròn bán kính R.
Tiếp theo, ta tính cạnh của ngũ giác đều nội tiếp trong vòng tròn bán kính R. Giả sử DZ = ZC = a10 là cạnh của thập giác đều nội tiếp, còn DC = a5 là cạnh của ngũ giác đều nội tiếp.
Từ các quan hệ hình học tương ứng, có thể suy ra AN = a5. Vì vậy, phương pháp dựng ngôi sao năm cánh trình bày ở trên là chính xác.
Không phải bất kỳ đa giác đều nào nội tiếp trong vòng tròn cũng có thể vẽ được bằng thước và compa. Những hình như tam giác đều, ngũ giác đều, thập giác đều, cũng như các đa giác đều có nguồn gốc trực tiếp từ chúng như các hình có số cạnh 2n, 2n x 3, 2n x 5, 2n x 15, với n là số dương, đã được biết từ hơn 2000 năm trước, vào thời Euclid. Sau đó rất lâu mới có một bước đột phá quan trọng: đến thế kỷ XVIII, Gauss lần đầu tiên tìm ra cách dựng đa giác đều 17 cạnh. Có thể phán đoán rằng một đa giác đều n cạnh dựng được bằng thước và compa khi n có dạng 2m.P1.P2...P, trong đó P1, P2...P là các số dạng 22k + 1, còn m là số nguyên dương bất kỳ hoặc bằng 0. Dự đoán này do Gauss đưa ra và đã được ông cùng một nhà toán học khác chứng minh.
