Làm thế nào vẽ được góc vuông mà không dùng êke?

Giả sử có một mảnh ván hình chữ nhật, trong đó hai cạnh song song đã hoàn chỉnh, còn hai cạnh đối diện lại nham nhở. Làm thế nào để tạo được một hình chữ nhật hoàn chỉnh? Muốn vậy, ta phải cắt phần biên nham nhở theo một đường vuông góc với hai cạnh song song, nhưng lại không có êke. Vậy phải vẽ đường thẳng vuông góc bằng cách nào?

Ta có thể dùng một chiếc thước có chia độ. Trước hết, chọn trên đường biên AB một đoạn EF bằng 30 mm. Sau đó lấy E và F làm tâm, vẽ hai cung tròn: một cung tâm E bán kính 50 mm, một cung tâm F bán kính 40 mm. Hai cung tròn cắt nhau tại G. Nối FG, ta được góc EFG = 90 độ. Cắt bỏ phần gỗ phía dưới FG, ta sẽ có một đường biên hoàn chỉnh của hình chữ nhật. Dùng phương pháp tương tự, ta có thể tạo đường biên phía trên.

Vì sao có thể khẳng định góc EFG bằng 90 độ? Bởi vì tỷ số các cạnh EF : FG : EG = 3 : 4 : 5, đây là tam giác đồng dạng với tam giác vuông có ba cạnh 3, 4, 5; cạnh dài EG đối diện với góc vuông EFG.

Nếu ngay cả thước chia độ cũng không có thì làm thế nào?

Khi đó, ta chọn một thanh gỗ tương đối thẳng, dùng bút chì đánh dấu hai điểm M, N trên thanh gỗ. Sau đó đặt thanh gỗ lên tấm gỗ, đặt điểm M tại mép tấm gỗ và đánh dấu hai điểm P, Q tương ứng với vị trí M, N trên tấm gỗ.

Tiếp theo, thay đổi phương của thanh gỗ nhưng giữ điểm N bất động. Cho điểm M di động trên biên của tấm gỗ, rồi đánh dấu điểm R dưới vị trí M. Kéo dài RQ, trên phần kéo dài đặt QS = MN. Nối PS, ta được góc RPS = 90 độ. Bằng phương pháp đơn giản này, ta có thể vẽ được đường vuông góc; cắt tấm gỗ theo đường vừa vẽ, ta sẽ có một cạnh của hình chữ nhật.

Để chứng minh RPS là góc vuông, ta nối PQ. Vì RQ = PQ = QS nên các tam giác RQP và SQP đều là tam giác cân. Do đó:

RPS = RPQ + QPS = PRQ + QSP

Vì các góc RPS, PRS, RSP là ba góc trong của tam giác RPS, tổng của chúng bằng 180 độ, nên suy ra góc RPS bằng 90 độ.