Vì sao phương pháp thay thế dần ngày càng tỏ ra quan trọng?

Thế nào là phương pháp thay thế dần? Trước hết, hãy xét phương trình x² = 2. Nghiệm của phương trình là √2, điều này không sai. Nhưng √2 bằng bao nhiêu và có thể biểu diễn bằng một số thập phân cụ thể đến mức chính xác mong muốn không?

√2 là một số vô tỉ. Ta hy vọng không cần dùng phép khai căn trực tiếp mà vẫn tìm được giá trị gần đúng của √2 dưới dạng số thập phân với độ chính xác tùy ý. Ta biến đổi x² = 2 thành x = 1/2(x + 2/x). Ban đầu chọn x1 = 1. Thay vào biểu thức, ta được x2 = 1/2(1 + 2/1). Tiếp tục đưa x2 vào biểu thức, tính được x3 = 1/2(1,5 + 2/1,5) ≈ 1,41666.

Ta có thể tiếp tục thay các giá trị xn vào công thức xn+1 = 1/2(xn + 2/xn), với n = 1, 2, 3... Từ đó tạo thành một dãy số là các giá trị gần đúng của √2. Qua tính toán, có thể tìm được x4 = 1,414215686, x5 = 1,414213562. Giá trị x5 đã đạt độ chính xác đến chữ số thập phân thứ 9. So với cách khai căn thông thường, phương pháp này tính toán dễ dàng và nhanh hơn. Ở đây, ta đưa xn vào công thức để tính xn+1, rồi lại dùng giá trị mới tiếp tục tính giá trị sau. Đó chính là phương pháp thay thế dần.

Nhìn qua, phương pháp thay thế dần có vẻ hơi phiền phức: cứ thay, rồi tính, rồi lại thay tiếp, liệu có dễ tạo ra sai sót không? Thực ra, ngày nay với sự xuất hiện của máy tính có tốc độ tính toán nhanh và độ chính xác cao, phương pháp này có thể áp dụng để giải những phương trình phức tạp hơn x² = 2 rất nhiều mà không gặp khó khăn lớn. Vì vậy, phương pháp thay thế dần có nhiều lợi ích trong việc giải quyết các vấn đề thực tế.