Có phải với thuyết topo, mặt cầu và mặt xuyến là như nhau?

Bạn hãy tưởng tượng trên mặt bàn trước mặt có một quả bóng da và một chiếc bánh mì vòng. Một chú kiến bò qua bò lại rất nhanh nhẹn trên chiếc bánh mì vòng. Trong suy nghĩ của chú kiến, đó là một chỗ tốt, vừa trơn, vừa phẳng, chỉ hơi mấp mô một chút. Một lúc sau, chú kiến bò sang quả bóng da. Liệu nó có biết mình đã đổi chỗ không? Thực ra, chú kiến nhỏ rất khó phát hiện điều đó, vì ở bất cứ nơi nào trên quả bóng, khung cảnh xung quanh nó cảm nhận được cũng tương tự khi bò trên chiếc bánh mì vòng.

Đối với con người, câu trả lời lại hoàn toàn khác. Ta thấy chiếc bánh mì vòng có một lỗ trống ở giữa, còn quả bóng da thì không có lỗ. Hơn nữa, nếu dùng dao cắt một nhát, quả bóng có thể bị chia thành hai nửa, còn chiếc bánh mì vòng chưa chắc đã bị tách thành hai phần mà vẫn có thể giữ thành “một chiếc”.

Vì sao chú kiến nhỏ và chúng ta lại có cách nhìn khác nhau như vậy? Bởi dưới mắt chú kiến chỉ là một phần rất nhỏ của sự vật, còn mắt người có thể nhìn toàn cục quả bóng da, tức mặt cầu, và chiếc bánh mì vòng, tức mặt xuyến. Học thuyết topo phát triển từ đầu thế kỷ XX chính là xuất phát từ cách nhìn toàn thể như vậy, và đã trở thành một ngành khoa học nghiên cứu tính chất toàn cục của sự vật.

Bài toán “bảy chiếc cầu” đã nêu ở mục trước là một vấn đề của lý thuyết topo. Các hòn đảo ở thành phố Koenisberg có thể lớn nhỏ khác nhau, hình dạng khác nhau; bảy chiếc cầu cũng dài ngắn khác nhau. Nhưng khi giải bài toán, ta không quan tâm đến những khác biệt cục bộ ấy. Ta xem các đảo như các điểm, còn các cây cầu như các đường nối giữa các điểm. Mặt cầu và mặt xuyến nếu xét cục bộ thì có thể giống nhau, nhưng xét trên toàn thể lại khác nhau. Lý thuyết topo dùng “tiêu chí Euler” để chứng minh sự khác biệt đó. Tiêu chí Euler của mặt cầu là 2, còn của mặt xuyến là 0. Nếu thêm một chiếc cán vòng vào mặt xuyến thì tiêu chí Euler lại giảm đi 2. Chẳng hạn, nếu ghép hai vòng xuyến để tạo thành hình số 8 thì tiêu chí Euler sẽ là -2.