Vì sao phương pháp thay thế dần lại cho một con số có tính ngẫu nhiên?

Hình vẽ bên dưới là một hàm bậc hai y = ax(1 - x), trong đó 0 < x < 1 và a là một tham số. Với x = 1/2, ta nhận được cực trị của đường parabol. Với mỗi giá trị 0 < x < 1, ta sẽ nhận được một điểm y duy nhất trên đường parabol. Chọn một số x0 trong khoảng 0 < x0 < 1, ta nhận được y0. Sau đó lại đem y0 thay vào hàm bậc hai để được giá trị mới y1. Tiếp tục đem y1 thay vào hàm, ta được y2; rồi lại đưa y2 vào thay... Như vậy, ta thu được dãy số y0, y1, y2... Quá trình này trong toán học gọi là phương pháp thay thế dần.

Xuất phát từ hàm bậc hai và chọn x0 bất kỳ trong khoảng 0 < x0 < 1 làm giá trị ban đầu, với các tham số a khác nhau, ta sẽ nhận được những kết quả rất đáng chú ý.

Khi chọn a = 2 và x0 = 0,2 rồi tiến hành thay thế dần, ta nhận được dãy số yi là 0,18; 0,2952; 0,4161140; 0,485926; 0,499604; 0,50000. Cuối cùng, dãy số dừng lại ở con số 0,50000.

Khi a = 3,2 và giá trị ban đầu x0 = 0,2, dãy số nhận được là 0,512; 0,799539; 0,512840; 0,7994690; 0,530190; 0,7994580; 0,5130400; 0,7994560; 0,51304403; 0,7994560; 0,5130440; 0,7994560; 0,5130440... Dãy trị số cuối cùng dừng lại ở hai số 0,7994560 và 0,5130440, chúng thay phiên nhau xuất hiện.

Với a = 3,5 và giá trị ban đầu x0 = 0,2, sau khoảng 30 lần thay thế dần sẽ xuất hiện các số 0,3828200; 0,8269410; 0,500840; 0,8749970, rồi bốn số này thay nhau xuất hiện. Khi a tiếp tục tăng, cuối cùng có thể xuất hiện 8 số thay nhau, rồi 16 số thay nhau...

Nhưng khi a tăng đến lớn hơn 3,57, chẳng hạn a = 3,58, dãy số do thay thế dần tạo ra là 0,572800; 0,8760270; 0,388020; 0,8507340; 0,4546100; 0,8876240; 0,3570966; 0,8218190; 0,5240630; 0,892927; 0,3422780; 0,8059430... Lúc này quy luật dường như biến mất, người ta không còn nhận được giá trị lặp lại rõ ràng nào; các số xuất hiện có vẻ ngẫu nhiên. Nếu tiếp tục thay thế, bạn sẽ thấy hiện tượng ấy càng rõ.

Xuất phát từ một hàm bậc hai đơn giản, chọn tham số a và tiến hành thay thế dần, ta có thể nhận được một dãy số khó lường trước. Điều này nghe có vẻ khó tin nhưng có thể kiểm nghiệm bằng máy tính. Đó là một đặc tính cố hữu của các hệ phi tuyến, được gọi là tính ngẫu nhiên nội tại. Tính ngẫu nhiên nội tại là đặc trưng của một ngành khoa học mới: lý thuyết hỗn độn.

Tính xác định vẫn có thể bao hàm tính ngẫu nhiên. Ở đây xuất hiện sự thống nhất giữa những mặt tưởng như đối lập. Phương pháp thay thế dần chứa đựng những kết quả ngoài dự liệu, và sự xuất hiện của các số ngẫu nhiên giúp con người nhận thức sâu hơn về tự nhiên.