Thế nào là “giả thiết liên tục”?

Ở phần trên, chúng ta đã tìm hiểu tập hợp số thực có cơ số không phải là ℵ0. Để đưa ra kết luận này, điểm mấu chốt là không thể sắp xếp các số thực theo bất kỳ thứ tự nào. Thậm chí ta không thể sắp xếp các số thực trong khỏang 0 và 1 theo thứ tự. Ta có thể dùng phương pháp phản chứng để chứng minh kết luận này. Giả sử ta có thể sắp xếp các số thực từ 0 - 1 thành dãy và ghi được:

trong đó aij là số lẻ thập phân ở vị trí j, đương nhiên là aij lấy các giá trị từ 0 đến 9 là 10 số.

Giả sử ta lại chọn số y = 0, b1b2b3b4...và bi ≠ ai (việc này dễ dàng thực hiện) bởi vì chỉ cần lấy một số lẻ ở y khác với xi là ta có y ≠ xi và do đó y sẽ không thuộc nhóm số đã sắp xếp (tức nhóm xy). Từ mâu thuẫn này ta thấy không thể dùng bất kỳ cách nào để nhận được sự đối ứng 1 - 1 giữa các số xy với tập hợp số tự nhiên.

Cơ số của tập hợp số thực là X1. Như vậy liệu có còn cơ số nào trung gian giữa ℵ0 và X1? Theo Cantorr, người sáng lập lý thuyết tập hợp không có cơ số nào khác ℵ0 và X1, nói cách khác tập hợp vô hạn các số thực chỉ có thể là ℵ0 và X1. Đó chính là vấn đề “hệ thống liên tục”. (Người ta xem tập hợp số thực cũng như tập hợp các điểm trên đường thẳng là “hệ thống liên tục”, đó chính là vấn đề “hệ thống liên tục”).

Vấn đề hệ thống liên tục có ý nghĩa quan trọng trong nhiều ngành toán học. Từ khi vấn đề liên tục được nêu ra, nhiều nhà toán học nỗ lực để chứng minh hoặc phủ định nó. Tại hội nghị toán học quốc tế năm 1900, nhà toán học nổi tiếng Hilbert đưa ra 23 bài toán được sự chú ý của nhiều nhà toán học đương thời, trong đó bài toán hệ thống liên tục là một trong các bài toán đó. Thế nhưng cũng giống như tiên đề song song trong hình học Euclide, các nhà toán học phát hiện không có cơ sở để bác bỏ nó, cũng không chứng minh được nó. Cho đến năm 1938, Gödel chứng minh hệ tiên đề ZF của lý thuyết tập hợp thuộc vấn đề hệ thống liên tục là không thể phủ định. 25 năm sau, Cohen lại chứng minh hệ tiên đề ZF thuộc hệ thống vấn đề liên tục là không thể chứng minh được. Thành tựu của Gödel và Cohen được xem là hai thành tựu lớn trong công tác nghiên cứu toán học của thế kỉ XX. Nó cũng bày tỏ hệ tiên đề ZF và vấn đề “hệ thống liên tục” là độc lập với nhau và biến “vấn đề liên tục” thành “giả thiết liên tục”. Cũng có nhiều nhà toán học còn chưa yên lòng với “giả thiết liên tục” và hết sức tìm các tiên đề mới để thay thế. Hiện nay mọi người đang nỗ lực trong công cuộc tìm tòi đó.