Hình hoa tuyết có bao nhiêu chiều?

Mọi người đều biết câu chuyện người mù sờ voi. Theo truyền thuyết, có ba người mù chưa từng thấy voi lớn nhưng lại muốn biết con voi có hình dạng thế nào, nên họ tìm cách đến sờ voi. Một người sờ trúng đuôi voi và cho rằng con voi giống một con rắn. Người thứ hai sờ đúng tai voi, liền nghĩ con voi giống một chiếc quạt lớn. Người thứ ba sờ đúng chân voi, bèn cho rằng con voi giống như một cây cột đình.

Câu chuyện người mù sờ voi nhắc chúng ta rằng khi nhận thức sự vật, không thể chỉ nhìn phiến diện mà phải xét từ nhiều phía. Nếu dùng con mắt hình học trừu tượng để xem xét, ta có thể hiểu vấn đề số chiều. Đuôi voi chủ yếu chỉ phân biệt được trên và dưới, nên có thể xem là một chiều. Tai voi giống cái quạt, có chiều trên dưới và trước sau, nên có hai chiều. Chân voi có thể phân biệt trên dưới, trước sau, trái phải, nên có ba chiều. Trong hình học, các loại đường như đường thẳng, đường chu vi chỉ có một phương hướng độc lập nên được xem là một chiều. Mặt cong có hai chiều vì có hai phương hướng độc lập. Còn không gian mà chúng ta sống có ba phương hướng độc lập: trước sau, trên dưới và trái phải, tức là ba chiều. Vì vậy, số chiều thực chất là một tiêu chí đặc trưng cho sự vật.

Vậy đối với đường vẽ hoa tuyết thì sao? Vấn đề này được nhà toán học Thụy Điển Ahe đưa vào mô hình của giới tự nhiên để bàn về số chiều của đường hoa tuyết. Quá trình thực hiện có thể mô tả như sau:

Giả sử E0 là tam giác đều có cạnh bằng 1. Ta chia mỗi cạnh của tam giác E0 thành ba phần bằng nhau. Mỗi đoạn nhỏ có độ dài bằng 1/3 cạnh tam giác cũ, rồi dùng đoạn đó làm cạnh của một tam giác đều mới; gọi hình tạo được là E1. Tiếp tục làm như vậy với E1, lại chia cạnh của E1 thành ba phần bằng nhau để được E2, rồi cứ thế tiếp tục. Khái quát lại, tam giác Ek+1 sẽ có cạnh bằng 1/3^(k+1) cạnh của tam giác ban đầu. Khi k càng lớn, hình Ek càng phức tạp và các “răng” của hoa tuyết càng dày đặc. Trên thực tế, cấu tạo của hoa tuyết lý tưởng kéo dài vô hạn, dù con người không thể đạt đến trạng thái lý tưởng ấy một cách hoàn toàn.

Điều “vĩnh viễn không thể đạt được đường cong lý tưởng” là điểm rất đáng chú ý. Với đường cong này, trước hết nó là đường cong khép kín, giới hạn một vùng mặt phẳng có diện tích xác định. Nhưng cuối cùng đường ấy dài bao nhiêu? Xét quá trình cấu tạo, mỗi bước thao tác đều làm tăng độ dài đường cong lên 4/3 lần so với bước trước. Khi số bước tiếp tục tăng lên, độ dài đường hoa tuyết sẽ tăng đến vô hạn. Nếu thu hẹp tầm nhìn và tập trung vào một bộ phận của đường hoa tuyết, ta lại thấy bộ phận ấy giống với hình ban đầu. Đường hoa tuyết có những đặc điểm như vậy, chứng tỏ nó không phải một đường cong bình thường mà là một đường cong phân hình, hay fractal.

Đối với một đường cong phân hình, ta không thể xem nó đơn giản là đường cong một chiều. Đường hoa tuyết có thể nói là một đường cong không có phương hướng cố định, vì phương hướng của nó thay đổi vô số lần theo cách cấu tạo. Vậy phải định nghĩa số chiều của nó như thế nào? Ta có thể bắt đầu bằng cách kết hợp giữa cái cục bộ và cái toàn thể.

Nếu tăng độ dài cạnh của một hình vuông cạnh 1 lên gấp ba, ta sẽ có 3² = 9 hình vuông cạnh 1, nên số chiều của hình vuông là D(Q) = ln9/ln3 = 2. Nếu tăng độ dài cạnh của khối lập phương cạnh 1 lên gấp ba, ta sẽ có 3³ = 27 khối lập phương cạnh 1, nên số chiều D(C) = ln27/ln3 = 3. Điều này hoàn toàn phù hợp với quan niệm thông thường về số chiều. Với đường hoa tuyết, ta cũng xét tương tự. Khi phóng đại một đoạn theo tỉ lệ thích hợp, đường hoa tuyết tạo ra bốn phần giống dạng ban đầu, nên số chiều của nó được tính là D(K) = ln4/ln3 ≈ 1,26.

Cách tạo ra đường hoa tuyết theo kiểu phân hình cho thấy tính kỳ lạ của nó: nó không hẳn là đường một chiều, cũng chưa phải là hình hai chiều, mà nằm giữa hai khái niệm quen thuộc ấy.