Làm thế nào biểu diễn một số thập phân tuần hoàn dưới dạng phân số?

Tất cả các phân số đều có thể viết thành số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn. Các số thập phân có hữu hạn chữ số được gọi là số thập phân hữu hạn, ví dụ phân số 1/4 = 0,25. Còn số 33/99 lại là số thập phân vô hạn tuần hoàn; số chữ số trong phần thập phân là vô hạn, trong đó chữ số 3 được lặp đi lặp lại vô số lần. Người ta gọi nhóm số 3 ấy là nhóm chữ số tuần hoàn.

Việc biểu diễn một số thập phân hữu hạn dưới dạng phân số khá đơn giản: chỉ cần lấy nhóm chữ số sau dấu phẩy làm tử số, còn lấy 10n làm mẫu số, trong đó n là số chữ số sau dấu phẩy thập phân.

Ví dụ: 0,4713 = 4713/10000

Thế còn với các số thập phân vô hạn tuần hoàn thì sao? Thoạt nhìn, vấn đề có vẻ phức tạp, nhưng nếu nắm được quy tắc thì việc biểu diễn một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số cũng khá đơn giản.

Trước hết, ta xét các ví dụ:

0,333... = 3/9 = 1/3,

0,212121... = 21/99 = 7/33

0,324324324... = 324/999 = 36/111

Từ đó, ta có thể rút ra quy luật: lấy nhóm số tuần hoàn làm tử số, còn mẫu số là nhóm gồm toàn chữ số 9, tức 99...9; số chữ số 9 trong mẫu phụ thuộc vào số chữ số trong nhóm tuần hoàn. Các bạn có thể tự kiểm tra tính đúng đắn của quy tắc này.

Nếu gặp trường hợp một số thập phân hỗn hợp gồm hai phần: phần thập phân hữu hạn và phần vô hạn tuần hoàn, trước hết ta tách số thập phân ấy thành tổng của hai phần, một phần là số thập phân hữu hạn, phần còn lại là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ví dụ xét số 3,14212121...

3,14212121... = 3,14 + 0,212121.../102 = 3,14 + 21/99 x 1/102 = 314/100 + 7/3300 = 10369/3300

Mời các bạn thử biến đổi các số sau đây thành phân số:

1,42272727... = ?

0,00313131... = ?

2,043521521521... = ?