Có phải số các số nguyên tố là hữu hạn?

Trong các số tự nhiên, 2, 3, 5, 7... chỉ có thể chia hết cho 1 và chính bản thân chúng, nên đó là các số nguyên tố. Các số 4, 6, 8, 9... ngoài 1 và chính chúng còn có thể chia hết cho nhiều số khác, nên thuộc loại hợp số. Số 1 không phải là số nguyên tố, cũng không phải là hợp số.

Vậy trong các số tự nhiên, những số nào là số nguyên tố? Hơn 300 năm trước Công nguyên, một học giả Hy Lạp cổ tên Eratosthenes đã đưa ra một phương pháp.

Ông viết dãy số tự nhiên lên một trang giấy rồi dán lên một cái khung, sau đó lần lượt khoét bỏ các hợp số trong đó, cuối cùng thu được một vật giống như cái rây; các lỗ rây chính là chỗ các hợp số đã bị bỏ đi. Người ta gọi trang giấy này là chiếc “sàng Eratosthenes” nổi tiếng.

Bằng cách này, Eratosthenes đã tìm được các số nguyên tố trong 50 số nguyên đầu tiên. Ông viết các số từ 1 đến 50, trước hết đục bỏ số 1, giữ lại số 2. Sau đó đục bỏ các số là bội số của 2, giữ lại số 3. Tiếp theo, đục bỏ các số là bội số của 3, giữ lại số 5. Rồi lại loại bỏ các bội số của 5... Nhờ cách này, người ta thu được các số nguyên tố trong 50 số nguyên đầu tiên. Đây chính là “phương pháp rây” nổi tiếng.

Theo phương pháp này, ta có thể viết các số từ 1 đến 100 rồi sàng ra các số nguyên tố trong phạm vi đó.

Nhưng theo cách của Eratosthenes, liệu có thể tìm được số nguyên tố cuối cùng không? Các số nguyên tố có phải là hữu hạn không? Vào khoảng năm 275 trước Công nguyên, nhà toán học Hy Lạp kiệt xuất Euclide đã dùng một phương pháp kỳ diệu để chứng minh rằng số nguyên tố là vô hạn.

Euclide dùng phương pháp phản chứng để chứng minh luận đề này. Trước hết, ông giả thiết số các số nguyên tố là hữu hạn, vậy toàn bộ các số nguyên tố sẽ là 2, 3, 5, 7... p, trong đó p là số nguyên tố lớn nhất. Sau đó, ta lập số A = 2. 3. 5. 7... p + 1.

Vậy A hoặc chia hết cho một số nguyên tố nào đó, hoặc bản thân nó là một số nguyên tố. Nhưng theo cách lập số, A không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào từ 2, 3,... p, vì A chia cho các số 2, 3, 5... p đều dư 1. Điều đó có nghĩa là A phải chia hết cho một số nguyên tố khác lớn hơn p, trái với giả thiết ban đầu. Vậy số các số nguyên tố là vô hạn.

Đây là một định lý quan trọng trong lý thuyết số. Lý thuyết số, hay số luận, là một ngành toán học quan trọng, chủ yếu nghiên cứu các tính chất của số. Trong đó có nhiều dự đoán và nhiều vấn đề hết sức lý thú, có những vấn đề cho đến nay vẫn chưa được giải quyết. Giả thuyết Goldbach là một trong số đó.