Có phải các phương trình đều có thể giải bằng công thức không?
Nhiều người thích dùng công thức khi giải phương trình, vì chỉ cần làm theo những bước quen thuộc là có thể tìm nghiệm mà không phải suy nghĩ quá nhiều. Chẳng hạn với phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, trong đó a ≠ 0, ta chỉ cần áp dụng công thức nghiệm là có thể tìm được hai nghiệm của phương trình.
Chính vì vậy, trong một thời gian dài, các nhà toán học đã dồn nhiều công sức để tìm công thức giải phương trình ở các bậc khác nhau. Việc đó từng trở thành một vấn đề trọng tâm của đại số học.
Năm 1535, các nhà toán học Italia lần đầu tiên tìm ra công thức giải phương trình bậc ba. Họ tìm cách biến đổi phương trình bậc ba về dạng có thể xử lý nhờ những phương trình đơn giản hơn, rồi từ đó tìm nghiệm. Dựa trên ý tưởng ấy, về sau nhà toán học Italia Ferrari đã tìm được công thức giải phương trình bậc bốn, một lần nữa chứng minh hiệu quả của phương pháp này.
Như vậy, phương trình bậc hai, bậc ba và bậc bốn đều có thể giải bằng công thức. Vậy các phương trình bậc năm, bậc sáu và cao hơn có thể dùng công thức để giải được không? Từ thế kỷ XVII trở đi, nhiều nhà toán học đã nỗ lực tìm công thức cho phương trình bậc năm và các phương trình bậc cao hơn.
Điều lạ là vào thế kỷ XVI, Ferrari khi mới khoảng 20 tuổi đã không mất quá nhiều thời gian để tìm ra công thức giải phương trình bậc bốn. Thế nhưng trong suốt hai thế kỷ XVI và XVII, rất nhiều nhà toán học tài ba lại không tìm được công thức cho phương trình bậc năm, chỉ cao hơn một bậc.
Vậy có phải từ phương trình bậc năm trở lên thì không thể giải bằng công thức? Câu hỏi này được đặt ra rõ ràng vào năm 1824. Nhà toán học Na Uy Abel, khi mới 22 tuổi, sau bốn năm nỗ lực đã chứng minh rằng phương trình tổng quát bậc 5 hoặc cao hơn không thể biểu diễn nghiệm của chúng qua các hệ số bằng những phép toán số học cơ bản như cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lũy thừa. Từ đó, việc tìm công thức tổng quát để giải phương trình bậc cao từ bậc 5 trở đi mới thật sự khép lại.
Tuy vậy, lý thuyết về giải phương trình chưa dừng ở đó. Kết quả của Abel không có nghĩa là mọi phương trình bậc từ 5 trở lên đều không thể biểu diễn nghiệm bằng công thức. Chẳng hạn với phương trình x5 = N, ta vẫn có thể tính nghiệm trực tiếp bằng phép khai căn. Vì thế, vấn đề được nâng lên một bước mới: phương trình bậc cao phải có dạng như thế nào thì nghiệm của nó mới biểu diễn được qua các hệ số bằng những phép toán số học? So với câu hỏi ban đầu, vấn đề này sâu sắc hơn nhiều.
Năm 1831, nhà toán học Pháp Galois, khi mới 20 tuổi, đã đưa ra một câu trả lời sắc bén cho vấn đề ấy. Ông xây dựng nên lý thuyết nhóm Galois, trở thành nền tảng quan trọng của đại số học hiện đại. Dựa vào lý thuyết này, Galois nêu điều kiện để một phương trình đại số bậc cao có thể giải được bằng căn thức, gọi là “phán đoán Galois”. Từ “phán đoán Galois”, người ta cũng đi đến kết luận rằng phương trình tổng quát bậc n ≥ 5 không giải được bằng căn thức. Nhìn theo cách đó, định lý Abel chỉ là một hệ quả của lý thuyết Galois.
