Thế nào là bài toán bức màn đẳng thức của các tổng số?
Ta hãy xét hai tổng, mỗi tổng gồm sáu số tự nhiên:
1 + 6 + 7 + 17 + 18 + 23 = 2 + 3 + 11 + 13 + 21 + 22
Có thể bạn sẽ nghĩ điều đó chẳng có gì lạ. Nhưng hãy xem tiếp:
12 + 62 + 72 + 172 + 182 + 232 = 22 + 32 + 112 + 132 + 212 + 222
Đến đây, chắc bạn đã bắt đầu thấy có điều khác thường. Và điều thú vị hơn là các đẳng thức sau vẫn tiếp tục đúng:
13 + 63 + 73 + 173 + 183 + 233 = 23 + 33 + 113 + 133 + 213 + 223
14 + 64 + 74 + 174 + 184 + 234 = 24 + 34 + 114 + 134 + 214 + 224
15 + 65 + 75 + 175 + 185 + 235 = 25 + 35 + 115 + 135 + 215 + 225
Liệu các đẳng thức này có điểm dừng không? Với các lũy thừa bậc 6, bậc 7 và cao hơn, tuy việc tính toán khó hơn, người ta vẫn có thể tìm được những trường hợp tương tự. Tấm màn đẳng thức này chỉ dừng lại ở lũy thừa bậc 9.
Hai nhóm số nói trên do Fuyi nghĩ ra, quả thật rất kỳ diệu. Nhưng cơ sở của chúng là gì, dựa vào đâu mà người ta tìm ra? Ngoài hai nhóm số này, còn có những nhóm số khác không?
Nhà toán học nổi tiếng Liên Xô trước đây, Gelfan, đã giải đáp câu hỏi này. Ông cho rằng các nhóm số ấy xuất phát từ những hằng đẳng thức sau:
an + a(a + 4b + c)n + (a + b + 2c)n + (a + 9b + 4c)n + (a + 6b + 5c)n + (a + 10b + 6c)n =
= (a + b)n + (a + c)n + (a + 6b + 2c)n + (a + 4b + 4c)n + (a + 10b + 5c)n + (a + 9b + 6c)n
Trong đó n = 1, 2, 3, 4, 5. Hai nhóm số vừa nêu được tạo thành khi chọn a = 1, b = 1 và c = 2. Nếu chọn a, b, c là những số khác, người ta sẽ nhận được những nhóm số khác có tính chất tương tự, nhiều đến mức khó kể hết.
Những vấn đề tương tự được gọi là “vấn đề bức màn đẳng thức các tổng số lũy thừa k”, gọi ngắn gọn là “vấn đề bức màn đẳng thức các tổng số”.
Nhà toán học Trung Quốc Hoa La Canh từng nghiên cứu vấn đề này và đạt được nhiều thành quả. Hiện nay, người ta đã tính tới các lũy thừa bậc 9, bậc 10, nhưng vấn đề vẫn chưa được giải quyết trọn vẹn. Bậc lũy thừa cao nhất còn chưa được xác định. Liệu k có giới hạn trên không? Và nếu vượt qua giới hạn ấy, các đẳng thức còn có thể đúng nữa không?
