Thêm dấu vào các chữ số của đồng hồ để tổng đại số của các con số bằng 0?
Trong một cuốn sách toán cấp hai có một bài toán khá thú vị: trên mặt đồng hồ có 12 con số, hãy đặt dấu cộng (+) hoặc dấu trừ (-) trước các số đó sao cho tổng đại số của chúng bằng 0. Bạn có làm được không?
Thực ra, chỉ cần suy nghĩ một chút, bạn có thể tìm ngay một đáp án. Đặt dấu cộng trước các số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 và đặt dấu trừ trước các số 6, 10, 11, 12. Khi đó ta có:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 9 - 6 - 10 - 11 - 12 = 39 - 39 = 0
Vì vậy, đây là một đáp án đúng.
Bài toán này có tới 124 đáp án, nên tìm hết tất cả không phải việc dễ. Tuy nhiên, nếu chú ý, bạn có thể phát hiện quy luật và tìm được nhiều đáp án khác.
Trước hết, ta biết rằng một cặp số có cùng giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu thì tổng bằng 0. Mặt khác, 1 + 2 + 3 + ... + 12 = 78. Vì thế, chỉ cần chia 12 số thành hai nhóm, mỗi nhóm có tổng bằng 39, rồi đặt dấu trái ngược nhau trước hai nhóm: một nhóm mang dấu dương, nhóm kia mang dấu âm, thì tổng đại số của 12 số sẽ bằng 0.
Thứ hai, ba số lớn nhất trong 12 số có tổng là 10 + 11 + 12 = 33, nhỏ hơn 39; còn tổng các số nhỏ còn lại là 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45, lớn hơn 39. Do đó, khi chia thành hai nhóm, một nhóm ít nhất phải có bốn số và nhiều nhất có tám số. Nói cách khác, số phần tử của hai nhóm chỉ có thể là 4 và 8, 5 và 7, hoặc 6 và 6.
Thứ ba, giả sử ta chia 12 số thành hai nhóm A và B, mỗi nhóm có tổng bằng 39. Nếu đặt dấu cộng trước các số của nhóm A và dấu trừ trước các số của nhóm B, ta được một đáp án. Nếu đổi ngược dấu, ta lại có một đáp án khác. Ví dụ: (+1, +2, +3, +4, +6, +11, +12) và (-5, -7, -8, -9, -10), hoặc ngược lại: (-1, -2, -3, -4, -6, -11, -12) và (+5, +7, +8, +9, +10).
Bạn hãy dựa vào quy luật trên để thử tìm thêm những đáp án khác.
