Vì sao khi thực hiện các phép toán lại chia thành ba cấp?
Các phép toán số học thường được chia thành ba cấp: phép cộng và phép trừ thuộc cấp một; phép nhân và phép chia thuộc cấp hai; phép lũy thừa và khai phương thuộc cấp ba.
Cấp một là cấp thấp nhất, cấp hai cao hơn cấp một, còn cấp ba là cấp cao nhất. Thứ tự thực hiện phép toán có liên quan chặt chẽ với các cấp này. Với các phép toán cùng cấp, ta thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải. Với các phép toán khác cấp, ta ưu tiên phép toán cấp cao trước rồi mới đến cấp thấp.
Vì sao các phép toán số học lại được chia thành ba cấp?
Trong số học có những quy tắc cơ bản như luật giao hoán, luật kết hợp của phép cộng; luật giao hoán, luật kết hợp của phép nhân; và luật phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Trước hết, hãy xét luật phân phối khi kết hợp phép cộng với phép nhân.
Phép nhân cũng có luật phân phối khi kết hợp với phép trừ. Phép chia cũng có thể biểu hiện tính phân phối trong một số trường hợp khi kết hợp với phép cộng và phép trừ. Từ đó có thể khái quát rằng phép tính cấp hai có tính chất phân phối đối với các phép tính cấp một.
Ta đều biết phép trừ thực chất là phép cộng với số đối. Ví dụ 3 - 2 = 3 + (-2). Vì vậy, phép trừ có thể quy về phép cộng. Tương tự, phép chia chính là phép nhân với nghịch đảo của một số, chẳng hạn 3 : 2 = 3 x 1/2.
Do đó, phép chia có thể quy về phép nhân. Vì vậy, tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng là một quy luật rất cơ bản trong tính toán.
Rõ ràng ta có (ab)n = anbn.
Ví dụ: (3.2)4 = (3.2).(3.2).(3.2).(3.2)
= (3.3.3.3).(2.2.2.2)
= 34.24
Vì thế, phép lũy thừa cũng thể hiện tính phân phối đối với phép nhân. Tương tự, phép lũy thừa cũng có tính chất phân phối đối với phép chia:
(a : b)n = an : bn
Như vậy, các phép toán cấp ba thể hiện tính phân phối đối với phép toán cấp hai. Có thể khái quát thêm rằng phép toán cao hơn một cấp thường có tính phân phối đối với phép toán thấp hơn một cấp. Khi hiểu được cấp bậc của các phép tính số học, ta có thể thực hiện phép toán nhanh và chính xác hơn. Tuy nhiên, cần chú ý rằng các phép tính cấp ba không có luật phân phối đối với các phép toán cấp một.
