Vì sao tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 nhất định là một số chính phương?

Bạn hãy chọn tùy ý bốn số tự nhiên liên tiếp, lập tích của chúng rồi cộng thêm 1. Dù kết quả cụ thể là bao nhiêu, số thu được chắc chắn sẽ là một số chính phương.

Bạn có tin không? Hãy thử tính một vài ví dụ, bạn sẽ thấy kết quả đều là các số chính phương.

Vì sao lại có hiện tượng này?

Giả sử trong bốn số tự nhiên liên tiếp, số nhỏ nhất là a. Khi đó tích cần xét là:

a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1

Ta có:

a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 = (a2 + 3a)(a2 + 3a + 2) + 1

= (a2 + 3a)2 + 2(a2 + 3a) + 1

= (a2 + 3a + 1)2

Vì a là số tự nhiên nên (a2 + 3a + 1)2 chắc chắn là một số chính phương. Qua phép biến đổi trên, ta không chỉ biết a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1 là số chính phương, mà còn biết nó là bình phương của số nào.

Ví dụ, với 10 x 11 x 12 x 13 + 1, ta có a = 10 nên a2 + 3a + 1 = 131.

Vì vậy: 10 x 11 x 12 x 13 + 1 = 1312.

Tương tự, bạn cũng có thể tìm được kết quả của 15 x 16 x 17 x 18 + 1.

Với cùng cách lý luận, ta còn có thể thấy tích của bốn số chẵn liên tiếp hoặc bốn số lẻ liên tiếp, nếu cộng thêm 16, cũng là một số chính phương.