Tam giác Pascal là gì?
Năm 1261, nhà toán học Trung Quốc thời Nam Tống là Dương Huy, trong tác phẩm “Giải thích sách toán chín chương”, đã trình bày một bảng số được sắp xếp thành hình tam giác.
Theo Dương Huy, bảng số này được ông dẫn lại từ các tác phẩm của Giả Hiến là “Nguồn gốc của phép toán khai phương” và “Phương pháp nâng lũy thừa và khai phương”. Vì thế, tam giác ấy còn được gọi là “Tam giác Giả Hiến”. Ở châu Âu, bảng tam giác này được Pascal nghiên cứu vào năm 1654, muộn hơn Giả Hiến khoảng 600 năm.
Vậy tam giác Giả Hiến có tác dụng gì? Các con số trong tam giác chính là hệ số khi khai triển lũy thừa của nhị thức a + b.
Dựa vào bảng số tam giác này, ta có thể biết:
(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
Hàng thứ nhất của bảng cũng có ý nghĩa, vì chỉ cần a + b ≠ 0 thì (a + b)0 = 1.
Nếu quan sát kỹ các số trong bảng, ta sẽ nhận ra quy luật sắp xếp rất rõ: các số ở ngoài biên luôn là 1, còn mỗi số đứng giữa ở hàng dưới bằng tổng của hai số kề hai bên ở hàng trên. Theo quy luật ấy, ta có thể viết tiếp các hàng sau và nhận được hệ số khai triển của lũy thừa bậc n của nhị thức (a + b)n.
Vậy ban đầu người ta lập bảng số này như thế nào? Theo những ghi chép còn lại, phương pháp của Giả Hiến chính là phương pháp “nâng dần lũy thừa”. Sở dĩ gọi như vậy là vì các con số được tạo ra từ quá trình nâng dần lũy thừa của nhị thức. Chẳng hạn, để lập một tam giác Giả Hiến có tám hàng, trước hết người ta viết một bảng số theo quy luật nhất định.
Từ bảng số đó có thể rút ra ba quy tắc: thứ nhất, hàng đầu có tám số 1; thứ hai, từ hàng thứ hai trở đi, phía bên trái mỗi hàng ít hơn hàng trên một số; thứ ba, ở mỗi hàng, bắt đầu từ biên bên phải là 1, còn số tiếp theo bằng tổng của số bên phải với số ở hàng trên cùng cột. Ví dụ, ở hàng thứ hai có 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1... rồi tiếp đến 5, 6, 7; ở hàng thứ ba có 1, 3 = 2 + 1, 6 = 3 + 3...
Khi quay bảng ấy một góc 45 độ, ta sẽ thu được một bảng tam giác tám hàng, tức “Tam giác Giả Hiến”.
Cùng với phương pháp “nâng dần lũy thừa”, còn có phương pháp “khai căn dần dần”, có thể giúp giải một số phương trình bậc cao.
