Liệu có thể có công thức tính số nguyên tố?

Ta đã biết số nguyên tố chỉ có thể chia hết cho 1 và chính nó. Chúng ta cũng biết có thể nhận biết số nguyên tố bằng “sàng Eratosthenes”. Vậy liệu có thể biểu diễn số nguyên tố bằng một biểu thức nào đó không? Hoặc có thể có một công thức tuy không biểu diễn được hết mọi số nguyên tố, nhưng các số tính theo công thức ấy đều là số nguyên tố không?

Nhà toán học Pháp nổi tiếng Fermat từng đưa ra một công thức dự đoán để tính số nguyên tố. Ông tìm thấy số:

trong đó khi n = 0, 1, 2, 3, 4 thì F(n) tính được đều là số nguyên tố.

Nhưng về sau, nhà toán học Thụy Sĩ Euler đã chỉ ra rằng với n = 5, số F(5) = 225 + 1 = 4294967297 = 641 x 6700417 là một hợp số. Vì vậy, dự đoán của Fermat bị bác bỏ. Từ đó, lại có nhiều người tiếp tục đưa ra các công thức với hy vọng tính ra số nguyên tố một cách tổng quát.

Trong lịch sử toán học, từng có nhiều công thức được đề nghị để tính số nguyên tố như:

Nhưng đáng tiếc là các công thức ấy dần dần đều bị bác bỏ.

Năm 1983, một người Trung Quốc đưa ra một dự đoán khác. Nếu cho p là một số lẻ thì có thể tính số nguyên tố theo p bằng công thức:

Nhưng người ta đã tìm thấy rằng với p = 29, dự đoán này bị bác bỏ.

Trong thời gian đó, ở các nước khác cũng có người đưa ra công thức tính số nguyên tố phụ thuộc hai tham số m và n:

f(m,n) = n-1/2{[m(n+1) - (n! + 1)]2 - [m(n+1)-(n!+1)]2 + 1}+2.

Trong đó m, n là các số tự nhiên, n! = 1.2.3...n, đọc là n giai thừa. Người ta đã kiểm chứng được

là các số nguyên tố.

Công thức này đã được chứng minh bằng lý thuyết, nhờ đó có thể biểu diễn số nguyên tố bằng công thức. Nhưng công thức quá phức tạp và ít có giá trị thực tiễn.