Vì sao người ta chia ra hai loại số hữu tỉ và số vô tỉ?

Câu hỏi này liên quan đến một câu chuyện cổ rất thú vị.

Vào thế kỷ VI trước Công nguyên, nhà toán học Hy Lạp cổ đại Pythagore cho rằng trên đời chỉ có số nguyên và tỉ số giữa hai số nguyên, tức phân số. Ví dụ, người ta có thể dùng số nguyên hoặc tỉ số giữa hai số nguyên để biểu diễn độ dài của một đoạn thẳng. Khi dùng lực như nhau để gảy các dây đàn có tỉ số độ dài bằng tỉ số các số nguyên, chẳng hạn 2 : 3 hoặc 3 : 4, chúng sẽ phát ra các hài âm, tức những âm thanh êm tai. Tóm lại, theo quan điểm của Pythagore, “vạn vật trong vũ trụ đều liên quan với số nguyên”.

Thế nhưng thực tế lại không phải như vậy.

Một ngày kia, có một học sinh đặt cho Pythagore câu hỏi: Liệu có thể dùng số nguyên hoặc tỉ số giữa hai số nguyên để biểu diễn đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 1 không? Để trả lời câu hỏi này, cần phải chứng minh. Pythagore đã tiến hành phương pháp chứng minh như sau:

Trên hình vẽ trình bày hình vuông cạnh bằng 1 và đường chéo, giả sử đường chéo được biểu diễn bằng số nguyên hoặc tỉ số của hai số nguyên p/q.

Theo định lý Pythagore, ta có:

(p/q)2 = 12 + 12 = 2

hay p2 = 2q2

Theo kết quả trên, vì 2q2 là số chẵn nên p2 là số chẵn. p không thể là số lẻ, vì một số lẻ bất kỳ, ví dụ 2n + 1, khi nâng lên bình phương phải là số lẻ: (2n + 1)2 = 4n2 + 2n2 + 1.

Vả lại, p và q không có ước số chung, nên nếu p đã là số chẵn thì q phải là số lẻ.

Nếu p là số chẵn, ta có thể đặt p = 2a, do vậy

điều đó chứng minh q2 là số chẵn và như vậy q cũng phải là số chẵn. Điều này trái với giả thiết ban đầu và xuất hiện mâu thuẫn: q vừa là số lẻ vừa là số chẵn. Mâu thuẫn ấy đã đẩy Pythagore vào chỗ bí, nhưng cũng làm nhận thức của loài người về số tiến lên một bước.

Việc không thể dùng số nguyên hoặc phân số để đo độ dài đường chéo của hình vuông cạnh bằng 1 không có nghĩa là độ dài đường chéo này không tồn tại. Thực ra, ứng dụng định lý Pythagore, ta dễ dàng tìm thấy độ dài của đường chéo là căn bậc hai của 2, tức số √2. Như vậy, ngoài số nguyên và phân số, tức tỉ số của hai số nguyên, người ta đã phát hiện một loại số mới mà thời ấy còn chưa biết rõ. Do số √2 không biểu diễn được thành tỉ số của hai số nguyên, người xưa gọi đó là số vô tỉ, nghĩa là không biểu diễn được dưới dạng một tỉ số của hai số nguyên.