Vì sao lại nói số 9?
Không ít người cho rằng số 9 có dấu chấm, tức chữ số 9 được lặp đi lặp lại mãi sau dấu phẩy thập phân, dù lặp bao nhiêu lần thì cũng chỉ tiến dần đến 1 chứ không bao giờ bằng 1. Vậy đẳng thức ấy có đúng không? Trước hết, ta xét một vài ví dụ.
Ta xét một chuỗi số gồm số 1/2; số đứng sau lại lấy số đứng trước chia đôi, cứ thế tiếp tục..., tức là chuỗi số có các hạng số dạng 1/2n. n có thể lớn tùy ý, ví dụ n = 1000000 v.v... Ta lập tổng các số hạng, tức tính tổng Sn.
Rõ ràng Sn nhỏ hơn 1 một đại lượng nào đó. Khi n lớn đến vô hạn, Sn tiến gần đến 1. Vì vậy, 1 là cận trên của Sn. Ta viết
Rõ ràng đây là tổng các số hạng của một cấp số nhân có công bội q với |q| < 1. Ứng dụng công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân, tức cộng bội q, ta có:
Từ đó nhanh chóng tính được:
Tương tự, ứng dụng công thức (3), ta có thể tính được:
