Đặt trạm cung ứng phụ tùng ở đâu là hợp lí nhất?

Trên một tuyến đường có ba cỗ máy đang làm việc. Ta cần bố trí một trạm cung ứng phụ tùng A trên tuyến đường đó. Vấn đề đặt ra là đặt trạm ở đâu để tổng quãng đường từ các cỗ máy đến trạm A là nhỏ nhất.

Ta có thể phán đoán ngay rằng A nên đặt tại vị trí của cỗ máy ở giữa là hợp lý nhất. Vì nếu đặt A tại vị trí này, tổng khoảng cách từ hai máy ở hai đầu đến A chính bằng đoạn đường nối giữa hai máy ngoài cùng. Nếu đặt A ở một điểm khác, chẳng hạn lệch sang một bên, tổng quãng đường sẽ phải cộng thêm một đoạn dư, nên chắc chắn dài hơn.

Nếu trên tuyến đường chỉ có hai cỗ máy thì nên đặt A ở đâu? Trong trường hợp này, đặt A tại bất kỳ vị trí nào giữa hai cỗ máy đều được, vì tổng khoảng cách từ hai máy đến A luôn bằng độ dài đoạn đường nối giữa chúng.

Bây giờ mở rộng bài toán: nếu trên tuyến đường có năm cỗ máy thì nên đặt A ở đâu? Nếu có sáu cỗ máy thì sao? Và tổng quát hơn, nếu có n cỗ máy thì nên đặt A ở vị trí nào?

Nếu n = 5, A nên đặt tại vị trí cỗ máy đứng giữa. Nếu n = 6, A nên đặt ở bất kỳ điểm nào giữa cỗ máy thứ ba và cỗ máy thứ tư. Tổng quát, nếu n là số lẻ, A nên đặt tại cỗ máy thứ (n + 1) : 2. Nếu n là số chẵn, A nên đặt ở đoạn giữa cỗ máy thứ n : 2 và cỗ máy thứ n : 2 + 1.

Đây chính là ý tưởng chọn vị trí trung vị trong toán học. Nó giúp tổng khoảng cách đến các điểm trên cùng một đường thẳng đạt giá trị nhỏ nhất.