Số π được tính như thế nào?

Số pi, ký hiệu là π, là gì?

π là tỷ số giữa chu vi của một đường tròn và đường kính của nó. Dù đường tròn lớn hay nhỏ, tỷ số này vẫn không đổi, vì vậy π là một hằng số. Trong toán học, người ta gọi nó là số pi; ký hiệu π bắt nguồn từ chữ cái đầu của từ chỉ chu vi trong tiếng Hy Lạp.

Trong đời sống hằng ngày và trong sản xuất, số π được sử dụng rất rộng rãi. Đây cũng là một con số rất đặc biệt.

Nhưng giá trị của π bằng bao nhiêu?

Từ xưa đến nay, không biết bao nhiêu nhà toán học đã dốc công tính π, làm cho giá trị của nó ngày càng chính xác hơn. Nói chung, để tính π, người ta thường dùng chu vi của các đa giác đều nội tiếp hoặc ngoại tiếp đường tròn để thay thế gần đúng chu vi đường tròn.

Ban đầu, người ta tưởng rằng có thể tính đến tận cùng toàn bộ giá trị của π. Nhưng càng tính, họ càng nhận ra điều đó là không thể. Mãi đến thế kỷ XIX, nhà toán học Đức Lindemann mới chứng minh được π là số vô tỷ, tức là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Nó có thể được tính tiếp mãi theo quy tắc nhất định, nhưng không thể viết hết bằng một phân số đơn giản.

Từ rất sớm, ở Trung Quốc đã có câu “chu vi ba, đường kính một”, tức lấy π ≈ 3. Khoảng năm 100 trước Công nguyên, trong “Chu bì toán kinh” đã có ghi nhận về cách hiểu này. Đến thời Đông Hán, nhà toán học và thiên văn học Trương Hoành dùng √10, tức khoảng 3,16, làm giá trị gần đúng của π.

Đến thời Ngụy - Tấn, năm 263, nhà toán học Lưu Huy trong “Cửu chương toán thuật” chỉ ra rằng cách lấy “chu vi ba, đường kính một” chỉ tương ứng với chu vi hình lục giác đều nội tiếp đường tròn, nên độ chính xác còn thấp. Ông sáng tạo phương pháp cắt nhỏ đường tròn, dùng đa giác đều nội tiếp có số cạnh ngày càng lớn để tính gần đúng diện tích hình tròn. Nhờ đó, ông tính được π ≈ 3,14, rồi tiếp tục nâng độ chính xác đến 3,1416. Tư tưởng dùng đa giác tiến dần đến đường tròn này chính là một biểu hiện sớm của quan niệm giới hạn.

Thành tích rực rỡ hơn thuộc về Tổ Xung Chi thời Nam - Bắc triều. Ông tính được π nằm giữa 3,1415925 và 3,1415927, chính xác đến bảy chữ số thập phân đầu tiên. Thành quả này được ghi trong sách “Xuyết thuật”. Ông còn đưa ra hai phân số gần đúng nổi tiếng: 22/7 và 355/113. Trong đó 355/113 là một giá trị cực kỳ chính xác, ở châu Âu mãi hơn một nghìn năm sau mới có người tính ra.

Sau thế kỷ XV, khoa học kỹ thuật châu Âu phát triển mạnh. Việc tính π ngày càng được quan tâm. Nhà toán học Đức Ludolph van Ceulen từng tính π đến 35 chữ số thập phân và tự hào đến mức muốn khắc các chữ số ấy lên bia mộ. Vì vậy, ở Đức có thời người ta còn gọi π là “số Ludolph”.

Từ thế kỷ XVII, cùng với sự phát triển của vi phân và tích phân, cách tính π thay đổi về bản chất. Người ta không chỉ dựa vào đa giác nữa, mà dùng các chuỗi vô hạn, đặc biệt là các khai triển liên quan đến hàm lượng giác ngược. Ví dụ, từ công thức arctan và mối liên hệ arctan 1 = π/4, có thể suy ra các chuỗi dùng để tính π.

Công thức Leibniz là một trong những công thức đơn giản nhất để biểu diễn π bằng chuỗi vô hạn. Tuy nhiên, các số hạng của chuỗi này giảm rất chậm, nên muốn tính được nhiều chữ số chính xác phải dùng rất nhiều số hạng. Vì vậy, các nhà toán học tiếp tục tìm những công thức hiệu quả hơn.

Nhờ các thành tựu của giải tích, việc tính π bước vào thời kỳ mới. Số chữ số thập phân được tính ra tăng nhanh: năm 1706 đạt khoảng 100 chữ số, năm 1794 đạt 140 chữ số, năm 1844 đạt 205 chữ số, năm 1855 đạt 500 chữ số. Cuối thế kỷ XIX, nhà toán học Anh William Shanks công bố 707 chữ số thập phân của π, nhưng về sau người ta phát hiện chỉ đúng đến chữ số thứ 528.

Đến năm 1947, trước khi máy tính điện tử ra đời, π đã được tính đến 808 chữ số thập phân. Đây là một trong những kỷ lục cao nhất của thời tính toán thủ công.

Từ khi có máy tính điện tử, số chữ số của π tăng với tốc độ kinh người. Năm 1949, người ta chỉ mất khoảng một ngày đêm để tính được hơn 2.000 chữ số. Đến năm 1967, π được tính đến 500.000 chữ số; năm 1988 đạt 200 triệu chữ số; năm 1989 đạt 1 tỷ chữ số.

Việc tính π với độ chính xác khổng lồ như vậy vượt xa nhu cầu ứng dụng thực tế thông thường. Những tính toán ấy chủ yếu cho thấy sự kỳ lạ của số π, đồng thời cũng phản ánh khả năng tính toán ngày càng mạnh của con người và máy tính.