Thế nào là định lí lớn Ferma?
Chúng ta đều biết phương trình x2 + y2 = z2 có vô số nghiệm khác 0.
Ví dụ, bộ ba số gọi là bộ số tam giác thời Trung Quốc cổ đại, với hai cạnh góc vuông là 3, 4 và cạnh huyền là 5, chính là nghiệm của phương trình x = 3, y = 4, z = 5.
Vấn đề đặt ra là: bài toán mở rộng xn + yn = zn khi n > 2 có nghiệm khác 0 hay không? Nghiệm khác 0 nghĩa là cả ba số x, y, z đều phải khác 0. Nếu không, chỉ cần lấy x = 0 thì y = z đã có thể nghiệm đúng với bất kỳ số nguyên nào.
Fermat, nhà toán học Pháp thế kỷ XVII, từng nghiên cứu vấn đề này. Fermat là một luật sư nổi tiếng đồng thời là nhà toán học. Tuy chưa từng được học toán một cách chính quy, ông lại có niềm say mê toán học và có nhiều sáng tạo phi thường. Fermat có thói quen khi đọc sách thì ghi nhận xét của mình ở bên lề hoặc những chỗ giấy trắng trong sách. Sau khi ông qua đời, con ông xem lại bút tích và thư từ cha để lại, rồi tìm thấy ở một góc trang ghi: “Không thể có một số mà khi nâng lên lũy thừa bậc ba lại bằng tổng lũy thừa bậc ba của hai số khác. Không có một số mà lũy thừa bậc bốn lại bằng tổng lũy thừa bậc bốn của hai số khác. Nói chung, không thể tìm được một số mà khi nâng lên lũy thừa lớn hơn 2 lại bằng tổng lũy thừa cùng bậc của hai số khác. Tôi đã có một chứng minh đầy đủ và tuyệt đẹp về mệnh đề này, nhưng tiếc rằng không đủ chỗ giấy trống để viết ra”. Như vậy, theo cách nói của Fermat, phương trình xn + yn = zn với n > 2 không có nghiệm khác 0. Các nhà toán học đương thời đều tin rằng Fermat có thể chứng minh được kết luận này và gọi đó là “định lý Fermat lớn”.
Nhiều nhà toán học cẩn thận không hoàn toàn tin vào các ghi chú của Fermat, nên họ tìm hiểu sâu hơn, mong khôi phục được “chứng minh tuyệt đẹp và đầy đủ của Fermat”. Thế nhưng trải qua 300 năm, vấn đề tưởng như đơn giản này đã làm điên đảo nhiều nhà toán học kiệt xuất, trong đó có Euler, Dirichlet, Legendre v.v... là những tên tuổi lừng danh trong toán học. Nhưng công sức của họ không hề vô ích. Năm 1770, Euler chứng minh với n = 3 và n = 4, định lý Fermat là đúng. Năm 1825, Dirichlet và Legendre chứng minh với n = 5 thì kết luận chính xác. Năm 1839, Lamé chứng minh kết luận đúng với n = 7. Kummer khi bắt đầu nghiên cứu “số lý tưởng” vào năm 1874 đã chứng minh rằng, trừ các số 37, 59 và 67, với các số nhỏ hơn 100 thì kết luận của Fermat là chính xác... Đến năm 1976, có người dùng máy tính điện tử chứng minh với n < 125.000 thì định lý Fermat hoàn toàn đúng. Những kết quả ấy đã cổ vũ mọi người, nhưng nếu cứ tiếp tục theo hướng này thì “định lý lớn Fermat” sẽ mãi không có cơ hội trở thành một định lý thực thụ, bởi n là một số tự nhiên vô cùng vô tận.
Nhưng đến những năm cuối thế kỷ XX, vấn đề đã có chuyển biến cơ bản và đi đến hồi kết. Tháng 9-1994, nhà toán học Anh Andrew Wiles đã hoàn toàn chứng minh được định lý Fermat. Bước sang thế kỷ XXI, định lý Fermat đã trở thành một định lý thực thụ. Con đường mà các nhà toán học hiện đại dùng để giải quyết bài toán không giống với con đường của Fermat, Euler và các nhà toán học kiệt xuất tiền bối khác. Toán học hiện đại với nhiều phân ngành, như lý thuyết đường elliptic, lý thuyết môđun, lý thuyết biểu diễn Galois v.v..., đã phát huy tác dụng tổng hợp và đưa lý thuyết số lên một tầm cao mới, nhờ những cống hiến xuất sắc của nhiều nhà toán học. Dù có cống hiến xuất sắc, do vấn đề tuổi tác nên Wiles không được Hội nghị Toán học Quốc tế năm 1998 trao giải Fields, nhưng ông được đặc cách báo cáo chuyên đề tại hội nghị lớn. Buổi tối hôm đó, nhiều nhà toán học đã đến hội trường sớm hàng giờ để nghe ông báo cáo.
Định lý lớn Fermat cuối cùng đã có hồi kết. Trong quá trình chứng minh định lý này đã nảy sinh nhiều tư tưởng toán học và thành quả toán học mới, thúc đẩy toán học phát triển. Điều đó khiến ý nghĩa của định lý Fermat vượt xa khuôn khổ của một định lý đơn thuần.
