Thế nào là dự đoán Goldbach?
Ngày 7-6-1742, nhà toán học Đức Goldbach đã gửi cho giáo sư Euler một dự đoán: “Bất kỳ một số lẻ nào lớn hơn 5 đều là tổng của 3 số nguyên tố”. Ngày 30-6 cùng năm, Euler viết thư trả lời Goldbach, cho rằng dự đoán ấy là chính xác và đưa ra một dự đoán khác: “Bất kỳ một số chẵn nào lớn hơn hai đều là tổng của hai số nguyên tố”. Nhưng khi ấy, họ chưa thể chứng minh được các mệnh đề đó.
Hai vấn đề này đã lôi cuốn sự hứng thú của đông đảo nhà toán học, và đó chính là “dự đoán Goldbach” nổi tiếng. Từ đó bắt đầu một công cuộc chứng minh gian nan đối với “dự đoán Goldbach”.
Do dự đoán Goldbach trong thời gian dài chưa được chứng minh, nên tại Hội nghị Toán học quốc tế năm 1912, người ta đưa ra một dự đoán yếu hơn: tồn tại một số nguyên C sao cho một số nguyên lớn hơn hoặc bằng 2 có thể biểu diễn bằng tổng của các số nguyên tố, với số lượng không lớn hơn C.
Năm 1930, nhà toán học Liên Xô 25 tuổi Schnirelmann đã chứng minh mệnh đề C. Ông còn đưa ra điều kiện C không lớn hơn S, S ≤ 800.000. Sau này, S được gọi là số Schnirelmann. Đây là một bước đột phá trong quá trình chứng minh dự đoán Goldbach.
Năm 1937, nhà toán học Liên Xô Vinogradov dùng “phương pháp vòng tròn” và phương pháp phối hợp do ông sáng tạo, chứng minh rằng: mọi số lẻ đủ lớn đều có thể biểu diễn bằng tổng của ba số nguyên tố lẻ.
Đây lại là bước đột phá lớn trong việc giải quyết dự đoán Goldbach, và kết quả đó được gọi là định lý ba số nguyên tố.
Trong quá trình chứng minh dự đoán Goldbach, người ta đưa ra mệnh đề rằng với một số chẵn đủ lớn, nó có thể biểu diễn bằng tổng của hai số, trong đó mỗi số có số nhân tử nguyên tố không vượt quá lần lượt là m và n.
Mệnh đề này được ghi là “m + n”. Ví dụ “3 + 4” nghĩa là phải chứng minh rằng với số chẵn đủ lớn, nó có thể biểu diễn bằng tổng của một số có không quá 3 nhân tử nguyên tố và một số khác có không quá 4 nhân tử nguyên tố. Còn “1 + 1” có nghĩa là số chẵn đủ lớn có thể biểu diễn bằng tổng hai số nguyên tố. Nếu chứng minh được “1 + 1” thì về cơ bản sẽ chứng minh được dự đoán Goldbach; “định lý ba số nguyên tố” chỉ là một suy đoán quan trọng liên quan đến dự đoán Goldbach.
Năm 1920, nhà toán học Na Uy đã cải tiến “phương pháp rây” và chứng minh được “9 + 9”. Năm 1924, nhà toán học Đức Rademacher chứng minh “7 + 7”. Năm 1932, nhà toán học Anh Estermann chứng minh “6 + 6”. Về sau, vào các năm 1938 và 1940, Buchstab đã chứng minh “5 + 5” và “4 + 4”. Năm 1956, nhà toán học Trung Quốc Vương Nguyên chứng minh “3 + 4”, còn nhà toán học Liên Xô Vinogradov chứng minh “3 + 3”. Năm 1957, Vương Nguyên chứng minh “2 + 3”.
Việc chứng minh có “1” đầu tiên xuất hiện sớm nhất vào năm 1848 do nhà toán học Hungary Rényi thực hiện. Rényi đã chứng minh “1 + c”, trong đó c là một hằng số rất lớn. Năm 1962, nhà toán học Trung Quốc Phan Thừa Động chứng minh “1 + 5”. Cùng năm đó, nhà toán học Liên Xô Barbaen cũng chứng minh được “1 + 5”. Năm 1963, Vương Nguyên, Phan Thừa Động và Barbaen cùng lúc chứng minh “1 + 4”. Năm 1965, Vinogradov, Buchstab và nhà toán học Italia Bombieri chứng minh được “1 + 3”.
Năm 1966, nhà toán học Trung Quốc Trần Cảnh Nhuận một lần nữa cải tiến “phương pháp rây” và chứng minh “1 + 2”. Nhưng lúc đầu ông chưa trình bày rõ ràng các chứng minh của mình nên chưa tạo tiếng vang lớn trên thế giới. Năm 1973, Trần Cảnh Nhuận sửa lại luận văn và phát biểu rằng “một số chẵn lớn đều có thể biểu diễn bằng tổng hai số, trong đó có một số là số nguyên tố, còn số kia hoặc là số nguyên tố hoặc là tích của hai số nguyên tố”. Chứng minh của Trần Cảnh Nhuận được gọi là định lý họ Trần. Luận văn của ông được giới toán học hưởng ứng nhiệt liệt. Không ít nhà toán học đã cố gắng tìm cách chứng minh định lý ấy đơn giản hơn. Các chứng minh đơn giản hơn là do các nhà toán học Vương Nguyên, Đinh Hạ Huề, Phan Thừa Động cùng các cộng tác viên tiến hành.
Dự đoán Goldbach là một dự đoán quan trọng của lý thuyết số, được đưa ra cách đây hơn 250 năm nhưng vẫn chưa được chứng minh hoàn toàn và chưa trở thành định lý trọn vẹn. Qua gần 70 năm nỗ lực, các nhà toán học trên toàn thế giới đã thu được những bước tiến rất lớn, và hiện nay người ta vẫn đang tiến quân vào “1 + 1”.
