Số ảo có phải là ảo không?

Hãy quay lại lai lịch của số ảo. Vào thế kỷ XVI, các nhà toán học châu Âu đang tranh luận sôi nổi về việc có nên tiến hành các phép toán với số âm hay không. Một cuộc tranh luận khác cũng bị cuốn vào dòng xoáy ấy, đó là việc khai căn bậc hai của một số âm.

Số âm có căn bậc hai hay không? Có thể tồn tại một số mà bình phương của nó là số âm hay không? Về sau, do sự phát triển của toán học, một số nhà toán học phát hiện rằng có những phương trình bậc ba có nghiệm không thể không biểu diễn dưới dạng căn bậc hai của số âm. Nếu chấp nhận căn bậc hai của số âm, vấn đề giải các phương trình có dùng căn thức hay không dùng căn thức sẽ được giải quyết. Không những thế, khi giải “phương trình bậc n có n nghiệm”, người ta thu được kết quả đầy đủ nhất. Ngoài ra, khi căn bậc hai của số âm được đưa vào phép toán, nó cũng cho các kết quả chính xác.

Năm 1545, nhà toán học Italy Cardan đưa ra một cách biểu diễn có tính thỏa hiệp: gọi căn bậc hai của số âm là số có phần ảo, với ý nghĩa rằng tuy thừa nhận chúng là số, nhưng đó không phải số thực, mà là “số ảo”, không giống như số thực vốn có thể dùng để đo đếm các đồ vật thực. Đến năm 1632, nhà toán học Pháp Descartes chính thức khiến căn bậc hai của số âm được mọi người thừa nhận với tên gọi số ảo.

Năm 1768, nhà toán học Thụy Sĩ Euler lại giải thích về số ảo: “Do số ảo không nhỏ hơn số 0, không lớn hơn số 0, cũng không bằng số 0, nên nó không tồn tại trong phạm vi các số trong thực tế; nó chỉ tồn tại trong tưởng tượng”. Đây là đại diện cho thái độ và nhận thức của các nhà toán học thế kỷ XVIII đối với căn bậc hai của số âm, đồng thời cũng phản ánh ý nghĩa chữ “ảo” trong khái niệm số ảo.

Dù thuật ngữ số ảo có chữ “ảo”, các nhà toán học không hề bỏ qua mà tiếp tục đào sâu nghiên cứu. Vào thế kỷ XVIII - XIX, họ đã phát hiện nhiều tính chất và ứng dụng của số ảo. Đặc biệt năm 1777, Euler đưa ra khái niệm “đơn vị ảo”. Ông chọn √-1 làm đơn vị ảo và dùng chữ i để biểu thị đơn vị này, giống như số 1 là đơn vị của các số thực. Nhờ đó, bất kỳ số ảo nào cũng có thể biểu diễn là bội số của đơn vị ảo, tương tự như số thực. Ví dụ:

Nhờ vậy, các nhà toán học không chỉ xem số thực và số ảo là đồng dạng với nhau, mà còn thống nhất chúng dưới tên gọi số phức. Số phức bao gồm cả số thực và số ảo. Nếu dùng ký hiệu a + bi, trong đó a và b là các số thực, i là đơn vị ảo, thì khi a = 0, a + bi = bi là số ảo; nếu b = 0, a + bi = a thì số đã cho là số thực. Số phức được hình thành do số thực và số ảo bổ sung cho nhau, không thể thiếu một phần nào.

Vào cuối thế kỷ XVIII, nhà toán học Na Uy Wilser, nhà toán học Thụy Sĩ Aliam và nhà toán học Đức Gauss đã phát minh phương pháp biểu diễn số phức bằng các điểm tương ứng một - một trên hệ trục vuông góc. Trên hệ trục tọa độ, trục hoành là trục thực, trục tung là trục ảo. Mỗi trục được chia theo đơn vị độ dài. Chỗ hai trục giao nhau được chọn làm gốc trục O. Tính từ O, trên trục thực lấy a đơn vị, trên trục ảo lấy b đơn vị. Nhờ đó, mỗi số phức a + bi đều có thể biểu diễn bằng một điểm tương ứng. Loại trục tọa độ này được gọi là hệ trục số phức, có gốc là O. Nhờ hệ trục tọa độ phức, người ta phát hiện được nhiều tính chất của số phức và chấp nhận sự tồn tại thực tế của chúng trong toán học. Từ đó, địa vị của số phức được xác lập và thuật ngữ số phức tồn tại cho đến ngày nay.