Thế nào là bộ bốn (tiếng Anh: quaternion)?

Số phức a + bi có thể được xem là một cặp số thực có thứ tự (a, b), tương ứng với một điểm trên hệ tọa độ vuông góc. Từ gợi ý này, nhà toán học Ireland Hamilton đã có ý định xây dựng một loại số mới, loại số bao gồm ba phần tử (a, b, c). Sau nhiều năm thử nghiệm, Hamilton phát hiện loại số mới mà ông muốn tìm không thể chỉ có ba phần tử, mà buộc phải có bốn phần tử. Đó chính là bộ bốn.

Nói một cách đơn giản, bộ bốn là một loại số có dạng a + bi + cj + dk, trong đó a, b, c, d là các số thực; 1, i, j, k là các phần tử đơn vị; i, j, k là các hư số thỏa mãn i2 = j2 = k2 = -1. Đồng thời, khi i, j, k nhân với nhau, chúng phải tuân theo quy tắc: ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j. Cả phép cộng và phép nhân của bộ bốn cũng đều được định nghĩa theo một hệ thống chặt chẽ.

Số phức a + bi, khi b = 0, sẽ trở thành số thực a; nói cách khác, số thực có thể coi là một loại số phức đặc biệt. Tương tự, bộ bốn a + bi + cj + dk khi c = d = 0 thì trở thành số phức a + bi, vì thế số phức cũng có thể được đưa vào trong bộ bốn. Từ số thực, số phức đến bộ bốn, hệ số đã được mở rộng. Vậy tính chất thuật toán của số thực và số phức trong bộ bốn có thay đổi gì không?

Thực tế, từ định nghĩa của bộ bốn có thể thấy các phần tử đơn vị i, j, k khi nhân với nhau không thỏa mãn luật giao hoán của phép nhân, tức ij ≠ ji, jk ≠ kj, ki ≠ ik. Vì thế, phép nhân của bộ bốn cũng không thỏa mãn luật giao hoán. Đây là sự khác biệt cơ bản nhất giữa bộ bốn và các số trước đó.

Việc sáng lập bộ bốn đã mở rộng khái niệm về số, đồng thời làm sâu thêm nhận thức về các phép toán. Nó có ảnh hưởng nhất định đến đại số và giải tích. Bộ bốn khiến các nhà toán học nhận ra rằng có thể tạo ra những loại số mới có ý nghĩa với tư cách là đối tượng nghiên cứu của toán học; loại số mới này không nhất thiết phải mang đầy đủ mọi tính chất vốn có của các số quen thuộc.