Tại sao lại dùng i là đơn vị ảo?

Ta biết rằng trong phạm vi các số thực, căn bậc hai của một số âm không có nghĩa. Bởi vì +2 nâng lên bình phương là +4, và -2 nâng lên bình phương cũng là +4; không có số thực nào khi bình phương lại bằng -4. Từ đó, người ta đi đến khái niệm số ảo. Thông thường, người ta chọn i làm ký hiệu cho đơn vị ảo. Vậy tại sao lại dùng chữ cái i làm đơn vị ảo?

Đó là vì trong tiếng Anh, số ảo được viết là imaginary, và i là chữ cái đầu của từ này, nên người ta chọn i làm ký hiệu cho đơn vị ảo. Vậy giá trị của i là bao nhiêu? i có mối liên hệ với số thực theo hệ thức:

Tại sao người ta không chọn ký hiệu √-1 làm đơn vị ảo? √-1 là một số chứ không phải chữ cái, như vậy chẳng phải đỡ rắc rối hơn sao? Trong toán học, chúng ta có quy ước √4 = 2, √1 = 1, gọi là phép khai căn. Thuật khai căn thường chỉ việc khai căn bậc hai của một số dương, còn √-1 là căn bậc hai của một số âm nên không phù hợp với định nghĩa thông thường của phép khai căn bậc hai. Vì vậy, để chặt chẽ, -1 là bình phương của hai số +i và -i, tức √-1 = ± i.

Vì √-1 không được quy định là đơn vị trong thuật toán khai căn, và vì √-1 có thể biểu diễn là +i hoặc -i, nên người ta không dùng ký hiệu √-1 làm đơn vị ảo.

Khi giải phương trình bậc hai x2 = -2, người ta biểu diễn nghiệm dưới dạng số phức là x = ± √-2 = ± √2i. Cách viết này chấp nhận được vì ký hiệu dương và âm xuất hiện đồng thời.

Giả sử ta giải phương trình x2 + x + 1 = 0, nghiệm của phương trình được biểu diễn ở dạng:

Ở đây, các ký hiệu dương và âm cũng xuất hiện đồng thời nên không gây nhầm lẫn.

Nhưng nếu viết √-2 = √2 i thì lại không thích hợp, vì thiếu giá trị âm.