Vì sao trong cuộc sống hằng ngày người ta lại dùng hệ đếm thập phân?

Số tự nhiên ra đời một cách hết sức “tự nhiên”. Từ thời xa xưa, nhân dân lao động cần đếm số súc vật bắt được: “1, 2, 3, 4,...”, và dần dần số tự nhiên xuất hiện. Nhưng làm thế nào để gọi tên và ghi lại từng số tự nhiên riêng biệt lại không hề tự nhiên chút nào. Khi con người chỉ nhận biết các số đến “10” và dùng tên gọi, ký hiệu riêng để ghi từng số thì việc đó không quá khó. Nhưng khi đã biết đếm đến “trăm”, “ngàn”, “vạn”, nếu cứ theo cách cũ mà gọi tên từng số như “một trăm cái, một ngàn cái, một vạn cái” và dùng ký hiệu riêng biệt để ghi lại thì gần như không thể thực hiện được. Không ít người đã lao tâm khổ tứ tìm cách gọi tên và tìm ký hiệu ghi số, nhưng ngay bản thân họ cũng khó nhớ và ghi chính xác, chưa nói đến việc dùng chúng trong tính toán. Trong tình hình ấy, việc tìm ra cách ghi và gọi tên theo “hệ đếm theo cơ số” là một phát minh vĩ đại.

Theo ngôn ngữ toán học hiện đại, hệ đếm theo cơ số là: nếu chọn trước một số tự nhiên p > 1 và có một số tự nhiên A thỏa mãn điều kiện pn ≤ A ≤ pn+1, ta có thể biểu diễn A dưới dạng:

trong đó 0 ≤ ai ≤ p

Vì p quyết định bước tiến của dãy số nên người ta gọi p là cơ số của hệ đếm. Nếu chọn trước p số tự nhiên và ghi theo thứ tự từ 0 đến p-1, trong đó p là cơ số của hệ đếm tự nhiên, thì ta có thể dùng phương pháp “ghi số theo vị trí”. Số A nói trên có thể viết thành A = anan-1...a1a0, trong đó ai là một trong p ký hiệu đã chọn. Phương pháp “ghi theo vị trí” được phát minh sớm nhất ở Trung Quốc, là một trong những cống hiến quan trọng của các nhà toán học cổ Trung Quốc.

Cách mô tả vừa trình bày quả thực không dễ hiểu. Nhưng bạn hãy tưởng tượng p được chọn là 10. Bây giờ chúng ta dùng các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 làm các ký hiệu để ghi số. Nhờ những chữ số này, ta có thể ghi bất kỳ số tự nhiên nào theo phương pháp “ghi theo vị trí”. Ví dụ với số 347804, thực tế đây chính là số:

4 + 0 × 10 + 8 × 102 + 7 × 103 + 4 × 104 + 3 × 105

Dễ dàng nhận thấy điều kỳ diệu của hệ đếm theo cơ số là có thể dùng một số hữu hạn ký hiệu để biểu diễn vô hạn các số, dù lớn đến đâu. Nó cũng giúp ta dễ nhận biết số lớn, số nhỏ và rất thuận tiện khi thực hiện các phép toán số học. Phát minh hệ đếm theo cơ số đã đưa nhận thức của loài người về các con số lên một trình độ mới.

Các bạn cũng dễ nhận thấy có thể dùng bất kỳ số tự nhiên p nào làm cơ số cho một hệ đếm. Nhưng trong cuộc sống hằng ngày, người ta thường dùng “hệ đếm cơ số 10” hay “hệ đếm thập phân”. Dĩ nhiên, người xưa chắc chắn không dùng cách mô tả trừu tượng như trên để định nghĩa hệ đếm thập phân. Vậy tại sao hệ đếm thập phân lại được toàn thể loài người chấp nhận ngay từ đầu?

Thực ra, lý do rất đơn giản: hai bàn tay của chúng ta có 10 ngón.

Trong thời đại xa xưa, trình độ sản xuất còn rất thấp, con người chỉ cần những số đếm đơn giản, và 10 ngón tay tự nhiên trở thành “máy tính” sớm nhất. Trong sách xưa từng có thành ngữ “đếm trên đầu ngón tay”, tức co ngón tay để đếm, cho thấy cách đếm bằng ngón tay ra đời từ rất sớm. Thói quen này vẫn còn dấu vết trong đời sống xã hội ngày nay: trẻ nhỏ ở vườn trẻ vẫn thường dùng ngón tay để đếm; người lớn khi trò chuyện cũng dùng các ngón tay để ra dấu một số con số nào đó. Khi trình độ sản xuất phát triển cao hơn, thành quả lao động đã đạt đến số lớn và vượt qua con số 10. Khi ấy, việc chỉ dùng ngón tay để đếm không còn thích hợp nữa. Tuy nhiên, con người vẫn chưa từ bỏ thói quen dùng ngón tay làm “máy tính”, mà kết hợp thêm công cụ hỗ trợ, ví dụ dùng viên đá, cành cây thay thế khi các ngón tay đã dùng hết, để có thể dùng lại ngón tay mà đếm tiếp. Sau nhiều lần lặp đi lặp lại, tổng kết kinh nghiệm, loài người đã phát minh ra hệ đếm thập phân.

Như vậy, có thể thấy tổ tiên loài người, do nhu cầu đời sống và sản xuất, xuất phát từ điều kiện của chính bản thân mình, đã không ngừng tích lũy và tổng kết kinh nghiệm để phát minh hệ đếm thập phân. Vì hệ đếm thập phân có mối liên hệ tự nhiên với cuộc sống, nên nó được xã hội loài người tiếp thu, truyền bá và trở thành một bộ phận không thể tách rời trong đời sống của chúng ta.

Trong lịch sử xã hội loài người, người ta còn thấy nhiều hệ đếm khác. Ví dụ, khi đo độ, người ta hay dùng “hệ đếm cơ số 60”: một độ có 60 phút, một phút có 60 giây. Trong hệ thống cân đo cũ ở Trung Quốc, đơn vị một cân có 16 lạng, đó là “hệ đếm cơ số 16”. Trong bát quái dùng cả hệ đếm “nhị phân” và “hệ đếm cơ số 8”. Ở một số nước còn có “hệ đếm cơ số 12”: cứ 12 vật phẩm gọi là một tá, 12 tá gọi là một “rá”. Dĩ nhiên, các hệ đếm vừa kể chỉ được dùng trong một số lĩnh vực hẹp và hạn chế, không hoàn thiện và phổ biến rộng rãi như hệ đếm thập phân.

Ngày nay, loài người đã bước vào thời đại máy tính điện tử và công nghệ thông tin. Có thể dễ dàng nhận thấy máy tính điện tử không có mối liên hệ tự nhiên với hệ đếm thập phân như con người. Trái lại, máy tính điện tử có mối liên hệ tự nhiên với hệ đếm cơ số hai, tức hệ đếm nhị phân.