Vì sao lại sinh ra hình học phi Euclide?

Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng có thể vẽ vô số đường thẳng không cắt đường thẳng ấy. Các bạn có tin không? Dù mệnh đề này mâu thuẫn với giáo trình toán học bậc trung học, nó lại thuộc một loại hình học khác: hình học phi Euclide.

Từ xưa đến nay, người ta cho rằng từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có thể vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng đó, và chỉ một mà thôi. Đây là mệnh đề do Euclide, nhà toán học cổ Hy Lạp, phát biểu trong sách “Nguyên lí hình học” của ông. Năm 1826, Lobachevsky đưa ra một môn hình học mới, trong đó có một định đề gọi là định đề phi Euclide: qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, ít nhất có thể vẽ hai đường thẳng không cắt đường thẳng đó. Định đề này kết hợp với các định đề Euclide khác, phát triển thành hình học phi Euclide. Đó là một loại hình học có quy mô giống như hình học Euclide, và chưa phát hiện mâu thuẫn nội tại trong hệ thống của nó, bởi ta có thể dùng một mô hình để giải thích hình học Lobachevsky. Mặt phẳng trong hình học Lobachevsky cũng giống mặt phẳng trong hình học thông thường; định nghĩa về điểm trong hai môn hình học cũng hoàn toàn giống nhau. Như trên hình 1, với một mặt phẳng α, ta có thể dùng một đường thẳng a chia hình đó làm hai phần bằng nhau. Một đường tròn có tâm a trên đường thẳng sẽ nhận đường thẳng làm đường kính, điều này dùng chung cho cả hai loại hình học. Như ở hình 2, ta chọn một đường thẳng AB trong hình học Lobachevsky và chọn tùy ý một điểm P, có thể vẽ nhiều đường thẳng không cắt AB. Bởi vì với vòng tròn có tâm trên a, qua điểm P ta có thể vẽ nhiều nửa đường tròn không cắt nửa vòng tròn đường kính AB.

Từ khi hình học Lobachevsky xuất hiện, nhiều loại hình học mới khác cũng ra đời, trong đó hình học Riemann cũng là một loại hình học phi Euclide. Hình học phi Euclide và hình học Euclide đều phản ánh một tồn tại khách quan, chỉ khác là chúng phản ánh hiện thực khách quan trong những phạm vi khác nhau. Ví dụ, Einstein trong thuyết tương đối rộng đã dùng hình học Riemann làm không gian vật lý. Đương nhiên, trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta chủ yếu vẫn sử dụng hình học Euclide.