Thế nào là hiện tượng tuần hoàn trong các dãy số?

Hiện tượng tuần hoàn khá phổ biến trong nhiều dãy số. Nếu chú ý một chút, ta có thể phát hiện được các chu kỳ lặp lại trong những dãy số ấy.

Ví dụ, với các lũy thừa của số tự nhiên có số mũ lớn hơn 5, người ta thấy chữ số cuối có sự lặp đi lặp lại. Lũy thừa bậc 5 của 2 là 32, chữ số cuối cùng là 2; lũy thừa bậc 5 của 3 là 243, chữ số cuối là 3; lũy thừa bậc 5 của 7, không cần tính, ta cũng có thể dự đoán chữ số cuối là 7...

Quan sát chữ số cuối của các bình phương từ 1 đến 9, ta thấy xuất hiện dãy số 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Bình phương của 10 là 100, chữ số cuối là 0. Các bình phương của các số tiếp theo cũng có chữ số cuối lập thành dãy 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Tất cả bình phương của các số tự nhiên đều có chữ số cuối lặp đi lặp lại trong vòng tuần hoàn này, và hiện tượng ấy lặp lại vô số lần. Vòng lặp này lấy số 0 làm ranh giới.

Người ta còn phát hiện “số gốc” của các bình phương chỉ có thể là 1, 4, 7, 9 chứ không thể là các chữ số khác. “Số gốc” của một số là con số thu được khi cộng dần các chữ số trong số đó; nếu tổng gặp số 9 thì bỏ đi và tiếp tục tính tổng, gặp số 9 lại bỏ tiếp, cho đến khi còn lại chữ số cuối cùng nhỏ hơn 9 thì giữ lại. Chữ số còn lại chính là “số gốc” của con số đã xét. Như vậy, “số gốc” chính là kết quả của phép cộng dồn các chữ số trong một số, lấy số 9 làm điểm dừng. Ví dụ, “số gốc” của 135 là 9, “số gốc” của 246 là 3...

Ứng dụng tính chất vừa nêu, ta có thể phán đoán một số có phải là số chính phương, tức bình phương của một số nào đó, hay không. Ví dụ, xét xem số 98765432123456789 có phải là số chính phương không. Ta tìm số gốc của con số này và thấy nó có số gốc là 8, không thuộc các chữ số 1, 4, 7, 9. Vì vậy, con số vừa nêu không phải là số chính phương.

Số gốc của một số chính phương không chỉ có đặc tính trên mà còn lập thành dãy tuần hoàn 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1. Ở đây chữ số ranh giới là 9 chứ không phải 0 như ở các chu kỳ khác. Dưới đây là một dãy ví dụ:

100, bình phương của số 10, có số gốc là 1.

121, bình phương của số 11, có số gốc là 4.

144, bình phương của số 12, có số gốc là 9.

169, bình phương của số 13, có số gốc là 7.

196, bình phương của số 14, có số gốc là 7.

225, bình phương của số 15, có số gốc là 9.

256, bình phương của số 16, có số gốc là 4.

324, bình phương của số 18, có số gốc là 9, là ranh giới của chu kỳ.

361, bình phương của số 19, có số gốc là 1, chu kỳ lặp lại.

Tính chất này của các bình phương không chỉ rất thú vị mà còn có giá trị thực tiễn lớn. Nếu vận dụng linh hoạt, ta có thể nắm được nhiều mẹo nhỏ trong tính toán nhanh.