Vì sao số 1 không phải là số nguyên tố?

Người ta chia các số tự nhiên thành ba nhóm: nhóm thứ nhất là số nguyên tố; nhóm thứ hai là hợp số; còn số 1 không phải là số nguyên tố cũng không thuộc loại hợp số. Số nguyên tố chỉ có thể chia hết cho 1 và chính bản thân nó, còn hợp số có thể chia hết cho các số khác. Ví dụ, số 6 là một hợp số vì ngoài 1 và chính nó, số 6 còn chia hết cho 2 và 3. Vì vậy, việc chia số nguyên tố và hợp số thành hai nhóm riêng biệt là hoàn toàn hợp lý. Số “1” chỉ chia hết cho 1 và bản thân nó, cũng vẫn là số 1. Vậy tại sao không ghép nó vào nhóm số nguyên tố cho tiện, để các số tự nhiên chỉ cần chia thành hai nhóm là đủ?

Để giải đáp câu hỏi này, ta cần bắt đầu từ số nguyên tố. Ví dụ, cần xem xét số 3003 có thể chia hết cho những số nào. Muốn trả lời câu hỏi này, ta phải xét tính chia hết của 3003 cho tất cả các số từ 1 đến 3003, một việc khá tốn công sức.

Chúng ta biết rằng mọi số tự nhiên đều có thể biểu diễn thành tích của nhiều số nguyên tố. Hiển nhiên, mọi số tự nhiên đều có thể phân tích thành một tích của nhiều số nguyên tố, và hơn thế nữa, cách phân tích ấy phải là duy nhất. Lấy số 3003 làm ví dụ, ta có thể thấy: 3003 = 3 x 7 x 11 x 13.

Bây giờ ta xét vì sao không thể xem số 1 là số nguyên tố.

Nếu xem “1” là số nguyên tố thì khi phân tích một hợp số thành tích của nhiều số nguyên tố, lúc đó sẽ không còn một lời giải duy nhất nữa. Ví như với số 3003, ta có thể viết thành: