Làm thế nào để nhận biết một số tự nhiên chia hết cho 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11?
Việc phán đoán một số tự nhiên có chia hết cho một số tự nhiên khác hay không là yêu cầu thường gặp trong cuộc sống. Dĩ nhiên, nếu có máy tính trong tay, bạn chỉ cần đặt một phép tính hợp lý là có thể tính xong. Nhưng khi số chia là số đơn giản, chẳng hạn số có một chữ số, ta có thể dùng một số quy tắc phán đoán. Khi nắm được các quy tắc này, không cần máy tính, bạn vẫn có thể giải bài toán chia hết khá nhanh.
Quy tắc phán đoán tính chia hết có hai loại: một là xem chữ số cuối hoặc vài chữ số cuối của số đó, như ở mục 1 và 2 sau đây; hai là tính tổng các chữ số trong số đó, hoặc xét các hệ số thích hợp cho các tổng, như ở các mục từ 3 đến 6.
1. Một số tự nhiên là số lẻ thì không chia hết cho 2; một số chẵn thì chia hết cho 2. Ví dụ các số 0, 2, 4, 6,... chia hết cho 2, còn các số lẻ như 1, 3, 5, 7,... không chia hết cho 2.
2. Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu chữ số cuối của nó là 0 hoặc 5; một số tự nhiên chia hết cho 25 nếu hai chữ số cuối của nó là 00, 25, 50 hoặc 75. Ví dụ số 120795 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25.
3. Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3. Một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9. Ví dụ số 147345 có tổng các chữ số là 5 + 4 + 3 + 7 + 4 + 1 = 24, chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9, nên số này chỉ chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9.
Vì sao lại có quy tắc phán đoán khá đơn giản như vậy?
Giả sử cho số:
A = a0 + 10a1 + 102a2 + 103a3 +...
trong đó a0, a1, a2, a3... là chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn... của số A. Ta có thể viết:
A = a0 + 10a1 + 102a2 + 103a3 +...
= [(10 - 1) a1 + (102 - 1)a2 + (103 - 1) a3] + (a0 + a1 + a2 + a3 +...).
Dễ dàng nhận thấy 10n - 1 là bội số của 3 và 9. Vì vậy, nếu số hạng thứ hai của biểu thức số A, tức biểu thức trong ngoặc đơn, là bội số của 3 hoặc 9 thì số A sẽ chia hết cho 3 hoặc 9. Từ đó, ta đi đến quy tắc: nếu a0 + a1 + a2 + a3 +... là bội số của 3 hoặc 9, thì số A chia hết cho 3 hoặc 9.
4. Một số chia hết cho 4 nếu tổng của chữ số hàng đơn vị và chữ số hàng chục nhân đôi chia hết cho 4. Một số tự nhiên chia hết cho 8 nếu tổng của chữ số hàng đơn vị cộng với chữ số hàng chục nhân đôi và chữ số hàng trăm nhân 4 chia hết cho 8. Ví dụ, số 1390276 chia hết cho 4 vì 6 + 2 x 7 = 20 chia hết cho 4, nên 1390276 chia hết cho 4. Số 1390276 không chia hết cho 8 vì theo quy tắc 6 + 2 x 7 + 4 x 2 = 28 không chia hết cho 8.
Cách chứng minh quy tắc vừa nêu cũng tương tự như cách chứng minh ở mục 3.
Ta viết ví dụ:
A = [(10 - 2) a1 + (102 - 4)a2 + 103a3 +...] +(a0 + 2a1 + 4a2).
Dễ dàng nhận thấy biểu thức trong ngoặc vuông là bội số của 8, và A sẽ chia hết cho 8 nếu hạng số thứ hai của A ở vế phải, tức biểu thức trong ngoặc đơn, là bội số của 8.
5. Một số chia hết cho 11 nếu hiệu giữa tổng các chữ số ở hàng chẵn và tổng các chữ số ở hàng lẻ là bội số của 11. Ví dụ, với số 268829, tổng các chữ số ở hàng lẻ là 9 + 8 + 6 = 23, tổng các chữ số ở hàng chẵn là 2 + 8 + 2 = 12, hiệu của chúng đúng bằng 11 nên số này chia hết cho 11. Lại như số 1257643, hiệu của hai tổng chữ số là (3 + 6 + 5 + 1) - (4 + 7 + 2) = 2. Vì 2 không phải là bội số của 11 nên số này không chia hết cho 11. Để chứng minh quy tắc, ta viết:
A = [(10 + 1)a1 + (102 - 1)a2 + (103 + 1)a3 + (104 - 1)a4 +...] + [(a0 + a2 +...) - (a1 + a3 +...)].
Số hạng thứ nhất của A là bội số của 11, nên nếu số hạng thứ hai là bội số của 11, tức hiệu giữa tổng các chữ số ở hàng chẵn và hàng lẻ, thì đương nhiên A sẽ chia hết cho 11.
6. Chứng minh quy tắc chia hết cho 7 khá phức tạp, trong khi ý nghĩa thực tiễn lại hạn chế, nên ở đây chỉ giới thiệu quy tắc mà không đi sâu vào cách chứng minh.
Bạn hãy nhớ kỹ dãy hệ số tuần hoàn sau đây: 1, 2, 3, -1, -2, -3, 1, 3, 2,...
Muốn phán đoán một số tự nhiên bất kỳ có chia hết cho 7 hay không, hãy nhân các chữ số của nó với dãy số vừa nêu rồi tính tổng. Ví dụ, bắt đầu từ chữ số hàng đơn vị nhân với hệ số 1, chữ số hàng chục nhân với hệ số 3, chữ số hàng trăm nhân với hệ số 2, chữ số hàng nghìn nhân với hệ số -1, v.v..., sau đó tính tổng đại số của các tích thu được. Nếu tổng vừa tính được chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7. Ví dụ xét số 5125764, số này chia hết cho 7 vì:
4 + 2 x 6 + 2 x 7 - 5 - 3 x 2 - 2 x 1 + 5 = 28, mà 28 chia hết cho 7.
Khi xét tính chia hết của một số tự nhiên, ta cần chú ý đến tính chất quan trọng sau: nếu một số A đồng thời chia hết cho hai số p và q thì cũng chia hết cho tích p x q của hai số đó. Ví dụ, số 5125764 đồng thời chia hết cho 7 và 4, nên số này cũng chia hết cho tích 7 x 4 = 28, v.v...
